Индуктивные топологические инварианты, определяемые через перегородки, и объединения множеств

• Автор: Чатырко, Виталий Альбертович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 182 с.

0.1 Введение

1 Размерность V-ind (P-trind) и ее частные случаи

1.1 Определения и взаимоотношения

1.2 Теорема сложения для замкнутых множеств

1.3 Неограниченность функций trcmp и tried в метризуемых "пространствах

2 Размерность ind (trind) в общих пространствах

2.1 Теоремы сложения

2.2 Теоремы произведения

2.3 Вопросы Энгелькинга (Engelking) о совпадении размерностей

ind и Ind

2.4 Неравенство Урысона и размерность ind о

3 Размерность trind в сепарабельных метризуемых пространствах
3.1 Размерность trind у специальных объединений
3.2 Размерность trind у специальных произведений
3.3 Ординальные произведения
3.4 Размерностные свойства компактов Смирнова
4 Функция стр в сепарабельных метризуемых пространствах122
4.1 Функции Cmp , Сотр и def
4.2 Проблема де Гроота (de Groot)
4.3 Проблема Аартса (Aarts) и Нишиуры
(Nishiura)
5 Мощность объединения замкнутых множеств и размерность
5.1 Функции мощности rri)c(d, /3, а) и Mjc(d ,/3,а)
5.2 Вычисление функций мощности
5.3 Аддитивные размерностные функции
Литература

0.1 Введение
Одной из основных функций классической теории размерности является малая индуктивная размерность ind, независимо определенная Урысоном и Менгером (Menger) в начале 1920’х годов.
Пусть X есть регулярное Т-пространство, ап целое число > —1. Тогда (i) indX — — 1 тогда и только тогда, когда X = 0;
(п) indX < п > 0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с indBdV < п
(здесь Bd А обозначает границу множества А в пространстве X).
Альтернативно в определении размерности ind вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими.
Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств размерность ind совпадает с двумя другими известными функциями, лебеговой размерностью dim и большой индуктивной размерностью Ind. Поэтому в случае сепарабельных метризуемых пространств в классической теории размерности говорят просто о размерности пространства.
Вне класса сепарабельных метризуемых пространств функции ind, Ind и dim вообще говоря различны. К примеру, широко известно, что для всякого нормального Д-пространства X справедливы неравенства
ind А" < IndX, dimX < IndX,
и для любых трех целых чисел 1,т,п : п > I > 0, п > т > 0, а также для п — т — I — 0, существует такое нормальное Д-пространство Ь(1, т, п), что
ind L(l,m,n) = l, dim L(l,m,n) = m, lndL(l,m, n) = n (cm. [6])
(напомним, что если dim X = 0 для нормального Д-пространства X, тогда Ind X — 0).
Поведение размерности в сепарабельных метризуемых пространствах описано в литературе очень хорошо, как и поведение лебеговой размерности dim и большой индуктивной размерности Ind в нормальных Д-прострапствах (см. например, [1], [73] или [51]). Что касается малой индуктивной размерности ind, то обычно она находилась при обсуждении “в тени”, после dim и Ind.
В этой работе мы сделаем наоборот и больше внимания уделим результатам именно о размерности ind и ее "родственницах".

Одной из последних является малая индуктивная степень компактности стр, рассмотренная де Гроотом (с1с Groot) в [54]. Ее определение можно получить из определения размерности тб заменой в пункте (1) условия: X — 0, на условие: пространство X компактно.
Появление функции стр было стимулировано приведенным ниже результатом де Гроота (бе Сгоо!) от 1942 года, который дает внутреннюю характеризацию сепарабельного метризуемого пространства, имеющего метризуе-мую компактификацию с размерностью нароста < 0, и последующей попыткой его обобщения.
А именно:
Пространство X имеет метризуемую компактификацию с размерностью нароста < 0 тогда и только тогда, когда для каждой точки р € X и для каждого замкнутого множества А С X, не содержащего р, в пространстве X между точкой р и мноспсеством А найдется компактная перегородка.
Другая функция, участвовавшая в обобщении, есть дефект компактности бе!, определяемый равенством
бе! X — тт{бнп(У X) : V метризуемая компактификация X},
для всякого сепарабельного метризуемого пространства X.
Следуя классической теории размерности, де Гроот (бе Сгоо!) определил также с помощью перегородок между дизъюнктными замкнутыми множествами аналог размерности 1пб, большую индуктивную степень компактности Стр, при следующем базисе индукции:
СтрХ — п, п — —1,0 тогда и только тогда, когда стрХ — п.
Хорошо известно (см. [26]), что
стрХ < СтрХ < бе!Х < тбХ
для всякого сепарабельного метризуемого пространства X (отметим, что условие стрХ = 0 влечет равенство бе!X = 0), и имеются примеры таких подмножеств У., У евклидова пространства ПА, что
стр У < Стр У и Стр У < бе! У.
В [66] Лелек (Ье1ек) предложил обобщить определения малой индуктивной размерности тб и малой индуктивной степени компактности
Напомним его подход.
Пусть X есть регулярное 7 -пространство, п целое число > —1, а V непустой класс топологических пространств, содержащий любое пространство гомеоморфное всякому замкнутому подмножеству любого из своих элементов (пустое множество является элементом V по определению).

для каждого к. Положим
G = Df=1(U{B* : В Є Вк}) и В* = {В* : В Є Б'}.
Тогда G есть полное расширение F с G С F. Легко заметить, что
£*|с = {В*Пб?:ВєВ'}
есть база для G.
Рассмотрим В Є В'. Так как tried Bd рВ < Л, а граница Bd рВ есть замкнутое подмножество произведения Q х Ма, по индуктивному предположению вытекает, что
C-trdef Bd рВ < tried Bd fB < A.
Далее, по Лемме 1.1.4 имеем
Bd рВ С Bd с(В* П G).
Так как BdG(B*fl6?) является полным метризуемым пространством, из Леммы 1.1.2 вытекает существование такого бД-множества Рр С Bdс(В* П G), что
ВdpB С Рв и trind (Рр — Bd fB) < А.
Положим
£(B) = BdG(£*nG)-PB.
Тогда Е{В) есть ІД-подмножество множества
BdG(B* П G) = BdG(B П G) (см.(*)),
и значит Дг-подмножество множества G. По (*) из Леммы 1.3.5 следует, что
UЩВ) : В Є В’}
есть /ф-подмножество G. Положим
Н = G - U{E(B): В е В'}.
Ясно, что множество Я есть бД-подмножество G.
Для каждого В Є В', так как F плотно в G, но Лемме 1.1.4 следует, что
(BdG(B* П G)) П Я = Bd рВ.
Значит E(B)nF = 0, и следовательно F С Н. Таким образом, Я есть полное расширение F. Так как В*с есть база для G, отсюда вытекает, что
{В* п (Я - F): В е В'}