Минимальные торы в R3 с плоскими концами

• Автор: Шамаев, Эллэй Иванович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 67 с.

1 Минимальные торы в М3

с малым числом плоских концов

1.1 Основные определения

^ 1.2 Эллиптические функции

1.3 Минимальные торы с шестью выколотыми точками

1.4 Минимальные торы с тремя выколотыми точками

2 Минимальные торы в Е3

с четным числом плоских концов

2.1 Минимальные торы

с четным числом выколотых точек

Список литературы

В данной работе для каждого 2п > 6 построены первые примеры полных минимальных торов в трехмерном евклидовом пространстве К3 с 2п плоскими концами.
Изучение минимальных поверхностей с плоскими концами было инициировано Брайантом в связи с изучением уиллморовских поверхностей в К3 — экстремалей функционала Уиллмора
где Я — средняя кривизна, а йр — индуцированная; мера.
Этот функционал изучали еще до Уиллмора Герман как "энергию изгибания" поверхности, Бляшке и Томсон как конформную площадь поверхности в сферической геометрии [1, 2].
Брайант [3] показал, что образы полных минимальных поверхностей с плоскими концами под действием инверсии К3 являются уилл-моровскими поверхностями. При этом плоские концы переходят в кратную точку поверхности, а функционал Уиллмора на торе равен 4лп, где п — кратность точки (или число плоских концов). Действительно, Гакштаттер [4] и Оссерман [5] показали, что имеет место равенство §МК (1р = —47г(д + п — 1), где К — гауссова кривизна, для полной минимальной поверхности рода дсп вложенными концами, а Уайт [6] показал, что форма (Я2 — К) с1р инвариантна относительно конформных преобразований М.3 и {оо}. Поэтому справедливо равенство

/м Н2 др — 4/Гп для тора.
Брайант также доказал, что все уиллморовские сферы получаются как образы минимальных сфер с плоскими концами при инверсии [3].
В настоящее время имеется полное описание уиллморовских сфер. Минимальная сфера с одним плоским концом (п = 1) — это стандартная плоскость. В [7] Брайант, используя методы алгебраической геометрии, показал, что не существует минимальных сфер с плоскими концами для п = 2,3, 5,7. В [8] Пенг построил примеры минимальных сфер с п плоскими концами для четного п > 4 и для нечетного п > 9.
Образы минимальных поверхностей рода один с плоскими концами задают класс уиллморовских торов, называемых суперминималъны-ми, а другие уиллморовские торы описываются с помощью решений 4-частичных уравнений Тоды (см., например, [9]).
Суперминимальные торы оказались более сложным объектом для исследования, чем уиллморовские сферы. До сих пор было известно существование минимального тора с четырьмя плоскими концами, построенного Костой [10], Куснером и Шмиттом [11]. Главной сложностью в построении минимальных торов оказалась задача обнуления периодов — проблема периодов. Объясним в чем заключается эта задача.
Рассмотрим риманову поверхность Г рода один с глобально определенным параметром и. Пусть мероморфные функции ф и ф% на универсальном накрытии V : Т —» Г такие, что ф2, ф2, Ф1Ф2 опускаются
где «о € Г — фиксированная точка, задает полную минимальную поверхность в К3 (см., например, [11,12]). Индуцированная метрика имена Г и ф\ + |^2| у- 0 на Г.
Тогда спинорное представление Вейерштрасса
(1)
ет вид {ф\ + {фЦУбгбг.

Продолжим доказательство предложения 4. При нечетном т положим
6 = |(-й(0) + 6(0)+6(0)), £2 = |(О(0) - 6(0) + 6(0)), 6 = 1(6(0) + 6(0) - 6(0)). Легко проверить, что справедливы равенства
Л 0 0^ Л 0 0
г 1 0 , (б*,) = (£(ро;6,&)) = 0 0
1» 0 V 1° 0 -і)
Следовательно, на Го имеем ці = 1, Ц2 = 0, цз = —1.
Пусть при т четном
6 = -^(66(0)+ 56(0) - 36(0)),
£2 = -^(6(0) - 26(0)), & = ^£,(0).
Тогда матрица (ау) является единичной, а (Ь^) имеет характеристический полином 13ц3 — 12/х2 — 21ц+ 4. Нули этого полинома равны ці, цг, А*з- Легко проверить, что ці, Ц2, Цз попарно различны.
Таким образом, для всех т существует такой тор Го, что числа ці, Ц2, Цз попарно различны. По лемме 6 элементы матрицы Грама — Шмидта (2.14 - 2.15) непрерывны на [0, Т). Поэтому числа ці,Ц2,Цз непрерывно зависят от £ на [0, Т) как корни характеристического полинома матрицы Грама — Шмидта. Тем самым существует Т' такое, что для £ Є [0,Т;) числа Ці,Ц2,Цз попарно различны. Предложение 4 доказано.
Пусть
°* = /е^7’ Ьк = 1* = 1’2’3- (2Л8)