Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых

• Автор: Седых, Вячеслав Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 250 с. : ил.

Введение б

1 Топология мультиособенностей коранга 1 устойчивого гладкого

отображения в пространство нестрого большей размерности

1 Устойчивые гладкие отображения коранга <1

1.1 Основные определения и обозначения

1.2 Некоторые сведения из теории стратификаций

1.3 Примыкание мультиособенностей отображения

2 -преобразование устойчивого гладкого отображения коранга <1

2.1 Определение и основные свойства

2.2 Вспомогательные утверждения

2.3 Доказательство теорем 2.1.1, 2.1.2 и 2.1

3 Разрешение мультиособенностей
устойчивого гладкого отображения коранга <1
3.1 Основная конструкция
3.2 Вычисление относительных индексов
мультиособенностей
4 Каноническая стратификация
характеристического многообразия
4.1 Особенности типа Б%(1)
4.2 Особенности канонической стратификации
4.3 Вспомогательные утверждения
4.4 Доказательство теоремы 4.2
5 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей
устойчивого гладкого отображения коранга <1
5.1 Основная формула
5.2 Вычисление линейных соотношений между эйлеровыми
характеристиками многообразий особенностей образа отображения в пространство большей размерности

5.3 Вычисление линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей отображения многообразий одинаковой размерности
5.4 Некоторые соотношения по модулю 2 между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей отображения многообразий одинаковой размерности
5.5 Полнота систем соотношений (1.10) и (1.19)
2 Топология особенностей коранга
устойчивого волнового фронта
1 Лежандровы отображения, фронты
и их особенности
1.1 Основные примеры лежандровых отображений
1.2 Классификация особенностей лежандровых отображений
1.3 Устойчивые лежандровы отображения коранга <
и их фронты
1.4 Примыкания особенностей устойчивого фронта
коранга <1
2 Разрешение особенностей
устойчивого фронта коранга <1
2.1 Лд-преобразование фронта
2.2 Основная конструкция
2.3 Вычисление относительных индексов
особенностей фронта
2.4 Особенности канонической стратификации характеристического многообразия
особенностей фронта
3 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей устойчивого фронта коранга <1
3.1 Вычисление соотношений между эйлеровыми
характеристиками
3.2 Полнота системы соотношений (2.9)
4 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей на крае связной компоненты дополнения
к устойчивому фронту коранга <1
4.1 Правильные связные компоненты дополнения к фронту
4.2 Вычисление соотношений между эйлеровыми
характеристиками многообразий особенностей
4.3 Полнота систем соотношений (2.19) и (2.23)

4.4 Специальные фронты в Ж"
4.5 Доказательство теоремы 4.3
4.6 Вспомогательные утверждения
4.7 Доказательство теоремы 4.2
3 Приложения к некоторым задачам
анализа и геометрии
1 Топология особенностей множества
Максвелла семейства гладких функций
1.1 Множество Максвелла глобальных минимумов
1.2 Случай некомпактного многообразия параметров
1.3 Множество Максвелла глобальных максимумов
2 Топология особенностей множества опорных гиперплоскостей гладкого
подмногообразия в аффинном пространстве
2.1 Особые опорные гиперплоскости
2.2 Слабо выпуклые подмногообразия в!"
3 Топология особенностей множества опорных гиперсфер гладкого подмногообразия
в евклидовом пространстве
3.1 Особые опорные гиперсферы
3.2 Доказательство теорем 3.1.5 и 3.1
3.3 Топология множеств симметрий, конфликтных множеств
и множеств средних точек гладких подмногообразий в Ж*1
4 Контактная геометрия
пространственных кривых
1 Многомерное обобщение теоремы Фридмана
о тройных касательных плоскостях кривой в Ж3
1.1 Точки уплощения пространственной кривой
1.2 Фронт касательных гиперплоскостей кривой
1.3 О четности числа n-касательных гиперплоскостей
замкнутой кривой в ЖРП
2 Теорема о четырех точках уплощения
слабо выпуклой кривой в Ж3
2.1 Формулировка результата
2.2 Вспомогательные утверждения
2.3 Доказательство теоремы 2.1

5) Многообразие $An AH,Aa и отображение /*+1 определяются при помощи Ат-преобразования отображения /г:
/ад = [AM).
Рассмотрим отображение
Рап Ацр : ®Ап АРр V, Ц>АПУ..,АРр = ч/>1 О • • • о 'Фр-Из предложения 1.3.3 и теоремы 2,1.7 легко вытекает следующее утверждение.
3.1.2. Теорема. Образом отображения <Рап аРр является множество Af.
Пусть (М)1 = М х ... х М (г раз). Рассмотрим подмногообразие Ман ан в (М)1, образованное наборами (xlt... ,Xi) попарно различных точек многообразия М таких, что f(xi) = ... = f(xi) £ (AMl + ... + причем отображение / имеет
особенность типа Аца в точке xs, s — 1 i.
3.1.3. Предложение. Для любого i = 1 р существует гладкое вложение Фг ■ ®An APi -> (Му, образом которого является замыкание Ма1п ан многообразия Мап ан в пространстве (М)1. Вложения фг фр включаются в коммутативную диаграмму
iu -Фз л Л, * Ат
®AHy..,APp > ■■■ ФдМ1,ДД2 > ' V
4- Фр 4" Ф2 4 Ф
(.му ... (м)2 ^ м -A v
где hi : (М)* —» (ал,... ,ж»-ъ ж*) н> (asi - отображение забывания
последней координаты, aid - тождественное отображение.
Доказательство. При р = 1 это очевидно (см. пример 1.1.9). Предположим, что утверждение верно при всех р < к — 1 и докажем его для р = к.
Пусть Ф^,...^ = ^....^((Лп + ••• + 4**)”)- Эт0 открытое всюду плотное подмногообразие в многообразии ФАР1 АРк- По предположению индукции, оно образовано (упорядоченными) парами ((ад яд_2, яд-i), (ад,, ад_2, хк)) наборов из попарно различных точек х хк многообразия М таких, что (хг хк) £ Мап ап• Отображение
((ад хк-2, Xk-i), (xi хк-2, хк)) (ад хк)
определяет диффеоморфизм многообразия Ф°А А„' на МАР1 АРкОстается лишь проверить, что замыкание МаР1У.„ап является гладким подмногообразием в (М)к и что указанный диффеоморфизм продолжается до диффеоморфизма многообразия Фар ап на МаР1 АРк- Но это легко следует из утверждения 1 предложехгия 4.4.1 ниже. Предложение 3.1.3 доказано.