К L p-теории дифференциальных форм на римановых многообразиях

• Автор: Копылов, Ярослав Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 63 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Комплексы в полуабелевых категориях
§1.1. О Кег-Сокег-последовательности в полуабелевой
категории
§1.2. О точности когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в
полуабелевой категории
Глава 2. Формула Кюннета для редуцированных когомологий тензорного произведения комплексов гильбертовых
пространств
Глава 3. Свойства оператора внешнего дифференцирования
и Гр-когомологии
§3.1. О нормальной разрешимости оператора внешнего
дифференцирования на поверхности вращения
§3.2. Гр-когомологии искривленных плоских расслоений
Литература

Введение
Согласно известной теореме де Рама [1] у гладкого многообразия М сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами совпадают с когомологиями комплекса де Рама
о п°(м) Л пм) Л... Л &(м) 4 nj+1(M) 4
где Q3 (М) — пространство гладких дифференциальных форм степени j на М, а d — оператор внешнего дифференцирования. Еще в 50-е годы было показано, что на замкнутом римановом многообразии пространство когомологий изоморфно пространству гармонических форм. Оператор * Ходжа на римановом многообразии позволил ввести на пространстве D3 (М) дифференциальных форм степени j с компактным носителями, лежащими в Int М, внутреннее произведение
(и, в) = J со Л *9, м
пополнение пространства D3 (М) относительно которого совпадает с гильбертовым пространством L,(M) дифференциальных форм степени j На М, уДОВЛеТВОрЯЩИХ УСЛОВИЮ ||СД||| = J Cl> Л *lv < оо.

При этом оператор внешнего дифференцирования d : D3 (М) —> D3+1 (М) можно расширить до замкнутого оператора, заданного на подпространстве пространства Ь32(М). Именно, будем считать, что форма (р лежит в области определения оператора d, если и только если существует последовательность {<р4 С°°-форм такая, что <р и dpß сходятся в норме II ||2. Положим dtp = lim d ц—їоо
Использование методов гильбертова пространства сделало возможным получить различные варианты разложения Ходжа-Кодаиры [2,3]. Это позволило Коннеру [4] поставить задачи Дирихле и Неймана для дифференциальных форм на римановом многообразии и исследовать вопросы их разрешимости.

В 1976 г. в работе [5] М. Атья впервые определил Ьо-когомологии риманова многообразия и положил начало их использованию для изучения некомпактных римановых многообразий и римановых многообразий с особенностями. В дальнейшем Г-когомологии изучались М. Гаффни, Дж. Доджиком, Дж. Чигером, М. Громовым, В. Мюллером, С. Дукером, П. Пансю и другими авторами. В 80-е годы В. М. Гольдштейн,
В. И. Кузьминов и И. А. Шведов ввели в рассмотрение Гр-комплекс де Рама риманова многообразия М и начали изучать его когомологии, Ьр-когомологии многообразия М. Эта тематика активно разрабатывается ими по настоящее время.
На п-мерном римановом многообразии М для каждой дифференциальной формы ш определен ее модуль х ьа |<д(ж)|. Для 1 < р < оо и непрерывной положительной функции т на М пусть символ Ь]р(М, т) обозначает банахово пространство, образованное измеримыми формами степени ] на М, модуль которых интегрируем с весом т в степени р по М для р < оо и удовлетворяет условию еввзир |(д(ж)|т(а;) < оо для

р = оо. Норма в пространстве L3V(M, г) вводится формулой
/ Мж)1 м тр(х) dx зсли 1 < р < оо,
esssup ш{х)мт{х), если р = оо.
Через D3 (М) обозначим векторное пространство форм степени j на М с компактными носителями, содержащимися в Int М.
Дифференциальная форма ф £ Г(С(М) называется (обобщенным) дифференциалом ди формы ш £ Ь ос{М), если для любой формы и £ (М), носитель которой лежит в ориентированной области, и ее обычного внешнего дифференциала ди выполняется равенство

Положим
W3(M, т) = {и£ ЩМ, т) I du £ LJp+1(M, т)}.

Доказательство, а) В силу теоремы 1.3 последовательность (1.17?г) точна в члене Кегу71 и морфизм строгий. Из леммы 1.14 получаем теперь требуемое утверждение.
б) По теореме 1.1 с учетом замечания после теоремы 1.2 последовательность (1.17й) точна во всех членах, причем 5п Є Ос- Так как 5п = (кег Ад+1)дп(сокєгр£), кегАд+1 Є Мс, сокегр Є Рс, то дп Є Ос. Поэтому и дп = Мд+1дп Є Ос. Точность в члене Нп(С) следует из леммы 1.13, а точность в члене ДП+1(А) получается из нее по двойственности.
Утверждение в) двойственно утверждению а).
Теорема 1.4 доказана.