Гомотопические свойства операторов с нежесткими соотношениями

• Автор: Мануйлов, Владимир Маркович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 210 с.

Оглавление
Введение
1. Одна теорема о почти коммутирующих операторах
2. Почти представления дискретных групп
2.1. Введение и основные определения
2.2. Случай абелевой группы
2.2.1. Технические леммы
2.2.2. Построение гомотопии. Случай двух унитарных матриц
2.2.3. Построение гомотопии. Случай свободной абелевой группы
2.2.4. Общий случай
2.3. Случай фундаментальной группы ориентированной поверхности
2.4. Пример группы без свойства асимптотической устойчивости
2.5. Почти представления групп вида Г х Z
2.5.1. Конструкция почти представлений групп л х Z
2.5.2. Конструкция расслоений над Втг х
2.5.3. Почти представления и подгруппы конечного индекса
2.6. Дискретные асимптотические представления в смысле Мищенко
2.7. Асимптотическая С*-алгебра
2.8. Асимптотические представления как представления в алгебру Калкина

2.9. Асимптотические представления и расширения
2.9.1. Асимптотические представления и представления в алгебру Калкина
2.9.2. Расширения с асимптотическим поднятием
2.9.3. Отображения С-Н и Е
2.9.4. Конструкция гомотопии
Оператор Шредингера с иррациональным магнитным потоком и задача диагонализации операторов в гильбертовых модулях
3.1. Основные сведения о гильбертовых модулях и W*-алгебрах
3.2. Диагонализируемые операторы в гильбертовых модулях
3.3. Теорема Дюпре - Филлмора для гильбертовых модулей
над конечными W* -алгебрами
3.4. Диагонализация операторов над Ш*-алгебрами
3.5. Непрерывность “собственных значений”
•3.6. Случай С*-алгебр нулевого вещественного ранга
3.7. Диагонализация компактных операторов над непрерывными полями С*-алгебр
3.8. Оператор Шредингера как оператор, действующий в гильбертовом С*-модуле
Литература

Введение
Задача изучения так называемых почти коммутирующих операторов восходит к работам Халмоша [35] и Войкулеску [61, 60]. В работе Халмоша была поставлена естественная задача о паре почти коммутирующих (самосопряженных, унитарных) матриц: можно ли утверждать, что если две (самосопряженные, унитарные) матрицы А ж В почти коммутируют, т. е. норма их коммутатора достаточно мала, то эти матрицы близки (по норме) к некоторой паре матриц (А1, В1), которые в точности коммутируют. Если предполагать, что класс рассматриваемых матриц имеет ограниченную размерность, то такой вопрос легко решается, и ответ положителен.
Однако если требовать, чтобы соответствующие оценки не зависели от размерности матриц, то, как показал Войкулеску, задача Халмоша для унитарных матриц имеет отрицательный ответ. Именно, в случае пары унитарных матриц существует целочисленное препятствие [61, 29], имеющее топологическую природу.
Случай пары самосопряженных матриц оказался сложнее для изучения, и только в 1997 г. X. Лин [43] показал, что в этом случае ответ на вопрос Халмоша положителен, именно, если /д и /»2 — матрицы произвольной размерности, для которых \h1h2 — /*211| < £? то существуют матрицы 1г[ и Ь'2 со свойствами:
\К - Ы\ <е, г = 1,2, кЫ2 = Ы2Ыг.
После результата X. Лина стадо понятно, что упомянутый выше инвариант является единственным препятствием для аппроксимации почти коммутирующих унитарных матриц.
Насколько нам известно, до сих пор не изучался случай пары самосопряженной и унитарной матриц. Не изучались ранее и гомото-

жит в множестве четырехдиагональных матриц вида
и(і)
“11 “12 “13 “21 “22 “23 “24
“32 “33 “34 “35

поэтому легко оценить норму коммутатора вдоль этого пути. Для этого удобнее работать с оператором к' = ЕЦкЦк, \к — к'\ < /8-Тогда
\й)к - /ш(£)|| < ||[“(£), Л7]|| + 6 <
< ||[Й-1()),Л']|| + ||№(1Г(0),|| + + ||№Н*)),ЛЦ| + <
< ьир ||“у)|| (2|цк - цш + цк - Цк+ъ) + <
< 6Г& (1.9)
для достаточно малых 8. Окончательная матрица и является трехдиагональной и верхнетреугольной:

“и “12 “13
“22 “23 “24
“33 “34 “35