Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Дуюнова, Анна Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
0.1 Общая характеристика работы
0.2 Краткое содержание диссертации
1 Три-ткани У(1,п, 1)
1.1 Структурные уравнения ткани ¥(1, п, 1)
1.2 Продолжение структурных уравнений три-ткани ГУ(1,п, 1)
1.3 Вычисление первого структурного тензора ткани ¥(1,п,1)
1.4 Аффинная связность, присоединенная к ткани п, 1)
1.5 Параллелизуемые три-ткани п, 1)
1.6 Групповые три-ткани ИД1, та, 1)
1.7 Некоторые специальные классы три-тканей ТУ(1, те, 1)
2 Системы ОДУ и определяемые ими три-ткани ¥{1 ,п, 1)
2.1 Три-ткань, определяемая системой ОДУ
2.2 Вычисление второго структурного тензора системы ОДУ
2.3 Системы ОДУ, определяемые некоторыми специальными
классами три-тканей ГК(1,п, 1)
2.4 Системы ОДУ с нулевым тензором кривизны
2.5 Три-ткани, определяемые дифференциальным уравнением
порядка п
2.6 О приведении системы ОДУ к каноническому виду
Литература

Введение
0.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы исследования, -тканью в геометрии называют совокупность к гладких слоений. Два-ткани или сети кривых интенсивно изучаются примерно с середины XIX века, хорошо изучены их метрические, аффинные и проективные свойства. Позже стали рассматривать ткани, составленные из большего числа слоений, и более сложные объекты — ткани, образованные на гладких многообразиях слоениями различной размерности.
Три-ткани с точностью до локальных диффеоморфизмов начали изучать в двадцатых годах прошлого века на гамбургском геометрическом семинаре Вильгельм Бляшке и его коллеги и ученики: К. Рейдемейстер, Г. Томсен, Г. Бол и др. Они показали, что условие замыкания на криволинейной три-ткани ¥ конфигураций определенного вида, образованных линиями этой ткани, отвечает некоторым тождествам, выполняемым в ее координатной квазигруппе и координатных лупах. Основные результаты этих исследований были опубликованы в [17] и [18]. В середине тридцатых годов появилась работа [43] С. Черна, в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает многомерные три-ткани ЧДг,г,г), образованные тремя семействами г-мерных поверхностей в 2г-мерном пространстве (далее классическая теория тканей). Современный вид классическая теория тканей приобрела в работах М. А. Акивиса, его коллег и учеников [8].
Ткани ИДр,
чали рассматривать В. Бляшке [15], [16] и Г. Бол [18]. Общая теория тканей, образованных слоениями разных размерностей, построена М. А. Акивисом и В. В. Гольдбергом в работах [5], [6]. Они нашли структурные уравнения три-ткани Ш(р, д,г), определили ее первый и второй структурные тензоры, выяснили геометрический смысл обращения нуль первого структурного тензора и его некоторых подтензоров. В работе [22] В. В. Гольдберг определил некоторые специальные классы три-тканей IV(р,д,г), названные им трансверсально-геодезическими, шестиугольными и групповыми, и нашел соответствующие тензорные характеристики. Изучение три-тканей, образованных слоениями разных размерностей, продолжилось в работах других авторов, см. например [14], [19] и [35]. Однако, вследствие разной размерности слоев, образующих ткань, долгое время не удавалось получить обобщения основных алгебраических и геометрических понятий классической теории тканей для тканей 1¥(р,д,г). Это было сделано сравнительно недавно Г. А. Толстихиной, результаты которой можно найти в [8].
Ткани У(р,д,г) при различных значениях р, д и г более детально изучали Ю. А. Апресян [9] - [12], Нгуен Зоан Туан [29] - [30].
Три-ткани, образованные двумя семействами кривых и одним семейством поверхностей, изучала Н.Х. Азизова [1] - [3]. Она рассматривает три-ткань как эквивалент другого геометрического объекта — однопараметрического семейства локальных диффеоморфизмов одной поверхности на другую.
Теория многомерных три-тканей имеет многочисленные приложения в разных разделах математики и физики, см. об этом в [17], [7], [35]. Это важное обстоятельство объясняется тем фактом, что ткань вполне определяется своим уравнением 2 = /(Хуу), связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Другими словами, три-ткань есть

Так как все слагаемые, входящие в это тождество, линейно независимы, то
'Ш'пи = 'Пг1,иП) [иу] 0-, = 0, 'Оп ~ 0,
в силу чего формы 7Д + - /Ло"и и VЬп + к%примут вид:
Ши + - рьш™и = тиушь + типи>п + тип+хи:п+1, (1.60)
У£„ + Кши = шчпМи + тппшп + тп(п+1)Шп+1, (1.61)
причем справедливы равенства
тиу = тьи. (1-62)
И разрешим уравнение (1.45). С учетом (1.60) оно примет вид
тиушу Аип А ип+1 + (Г£„ + Л ип+1 + А о/п+1) Л о/ = 0.
Вновь запишем формы Л соп+1 + А ип+1 в виде:
+ 1уипи А соп+1 + До;” Л о;п+1 = ЛшЧ
+ КттшУ) Лш" + Сшип+Ч“ Л <х,"+1 + шжп-П" Л (л;П+1 + (1-63)
+ ш;ги А СОш + ЛшЧ "Куп+Х Л <П+1 +
где 1?”, "„„+1 — некоторые 1-формы, не содержащие базисных
форм ши, шп и боп+1, а — некоторые 2-формы, не содержащие базисных форм и форм #п, «?”„„+! Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получим
(™- + С»„+1)Л Л “+1 + Л Л + С[Н” Л л +
+ г;м „+1“" л ”+1Л ш’ + <(Н л л и” гит ЛИ“ЛШ’ +
+ С»»+1Л+1ЛШ” + С„А = 0, так как все слагаемые в этом тождестве линейно независимы, имеем:
т 4-1п = П -)9П = П ?9П — О ?9га — П
''Что т иупп+1 и] и иЛУП щ 10(71+1 и5 ии ’
,9« _ п 1п — 1п — ]п — П {1 ИДЛ
и[ки|] ’ и[г)то]п и[иги]п+1 игия] 1-и