Спектр оператора Лапласа на однородных нормальных римановых многообразиях

• Автор: Свиркин, Виктор Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 81 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Оператор Лапласа и его спектр на римановых многообразиях

1.2 Конечномерные линейные представления групп и алгебр Ли

1.3 Целочисленные бинарные квадратичные формы

2 Спектр оператора Лапласа на однородных нормальных многообразиях

2.1 Риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями

2.2 Оператор Лапласа на однородных многообразиях

2.3 Спектры некоторых однородных нормальных многообразий

2.4 Оператор Лапласа на связных компактных группах Ли с биинвариант-

ной метрикой
2.5 Алгоритм поиска спектра компактной простой односвязной группы Ли
с биинвариантной метрикой
2.6 Алгоритм поиска спектра связной компактной простой группы Ли с
биинвариантной метрикой
2.7 Спектр прямого метрического произведения связных компактных
групп Ли
3 Спектр лапласиана связных компактных простых групп Ли ранга один и два с биинвариантной метрикой
3.1 Вычисление спектра групп 811(2) и 80(3)
3.2 Вычисление спектра групп Эи(3) и 8и(3)/С(8и(3))
3.3 Вычисление спектра группы С
3.4 Вычисление спектра групп Эр1п(5) и 80(5)
3.5 Промежуточные итоги вычислений
3.6 Окончательные результаты
Список литературы

Введение
Спектральная геометрия — область математики, которая исследует взаимосвязи между геометрическими структурами на многообразиях и спектрами канонически определенных дифференциальных операторов. Спектральная геометрия является сравнительно молодой и быстро развивающейся математической дисциплиной, многие задачи которой мотивированы вопросами, возникающими в акустике, квантовой механике и других областях физики. Далее будет рассматриваться случай оператора Лапласа-Бельтрами (лапласиана), заданного на множестве вещественных или комплексных функций компактного риманового многообразия. Под спектром Spec понимается множество собственных значений с учетом их кратности, т.е. размерностей пространств соответствующих собственных функций. Лапласиан естественным образом обобщается на случай комплекснозначных функций таким образом, что его спектр в комплексном и вещественном случаях совпадают. В данной работе проводится подробное исследование структуры пространств собственных функций в обоих случаях.
Из функционального анализа для компактного риманова многообразия М с метрическим тензором д известны общие свойства спектра лапласиана, из которых следует, что его можно представить как невозрастающую счетную дискретную последовательность неположительных чисел, каждое из которых повторяется конечное число раз, соответствующее кратности числа. Более того, каждая собственная функция лапласиана бесконечно дифференцируема (вещественно аналитична, если многообразие является вещественно аналитическим), и существует ортонормированный базис пространства L2(M, рд), состоящий из собственных функций лапласиана, где цд — мера на М, индуцированная тензором д, Ь2(М, рд) — пространство измеримых функций, квадраты которых интегрируемы, относительно меры рд. Разложение функции / Є L2(M, fig) по этому базису называется разложением в ряд Фурье.
В качестве примера спектра, приведем спектр лапласиана группы Ли Spin(5) с метрикой g индуцированной формой Киллинга, взятой с обратным знаком, вычисленный на основе алгоритма, полученного в этой работе. Как сказано выше, спектр лапласиана задается собственными числами А и их кратностями сг(А), которые, в
случае группы Ли Spin(5), имеют следующий вид:
А(щ, г/2) = + vl~ 5)> ГДе "ъ "2 Є N,
*(А) = 7^2 52 [^{.V ~ ri)(v + Г])]2.
' I/2+7J2 = 5-12A;
l/,7)GN, V>T)
Стоит отметить, что хотя спектр задан алгоритмически, и посчитать его в ограниченном диапазоне не представляет труда, но вот ответить на такой естественный вопрос: “ Принадлежит ли заданное собственное число Л множеству Spec (Spin(5), д), т.е. существуют ли такие натуральные числа щ и i/2, для которых верно равенство Х(ии и2) = А ?” уже не так-то просто. В данной работе с помощью применения теории бинарных квадратичных форм с целыми коэффициентами и теории чисел, и, используя разложение числа на простые множители, удалось ответить этот вопрос, а также удалось установить число слагаемых в сумме, приведенной выше.
Большинство исследований в спектральной геометрии затрагивают один из двух ее основных вопросов, которые могут быть сформулированы следующим образом:
1) Что можно сказать о спектре оператора Лапласа, исходя из геометрических характеристик многообразия?
2) Что можно сказать о геометрии многообразия, исходя из спектра его оператора Лапласа?
Задачи относящиеся к первому вопросу называются прямыми, ко второму — обратными.
Из инвариантности оператора Лапласа относительно изометрий следует совпадение спектров операторов Лапласа изометричных римаиовых многообразий. Таким образом, спектр лапласиана является изометричным инвариантом. Один из самых ранних результатов, относящийся к решению обратной задачи, принадлежит Г. Вейлю, который в 1911 использовал теорию интегральных уравнений, разработанную Д. Гильбертом, чтобы показать, что объем ограниченной области в евклидовом пространстве может быть определен по асимптотическому поведению собственных значений краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа. Этот частный результат показывает, что спектр лапласиана содержит в себе информацию о некоторых изометрических инвариантах многообразия, на котором он задан. В работе [21] доказано, что по спектру лапласиана связного компактного риманова многообразия можно
многообразие изометрично фактор-пространству G/H левых смежных классов дН, д Е G, некоторой связной группы Jin G по ее компактной подгруппе Н с метрическим тензором у, инвариантным относительно всех отображений а(д) : G/H —> G/H, д Е G, определенных формулой о(д)(хН) = (дх)Н. При этом на G существует такой метрический тензор и, инвариантный относительно всех левых сдвигов 1(g) : G —>• G, д Е G, определенных формулой 1(д)(д') = дд', и правых сдвигов r(h) : G —¥ G, h Е Н, определенных формулой r(h)(g) = gh, что каноническая проекция р : (G, и) —> (G/H, у) является римаиовой субмерсией.
Теорема 2.5. Риманова субмерсия р : (G, v) —> (G/H, у) имеет вполне геодезические слои. Как следствие, Spec (G/H, у) С Spec (G, и). При этом собственные (вещественно аналитические) функции лапласиана Ас/Н, отвечающие собственному значению А, находятся во взаимно однозначном соответствии с собственными (вещественно аналитическими) функциями лапласиана Aq, отвечающими собственному значению А и инвариантными относительно всех сдвигов r(h), h Е Н.
Доказательство. Из инвариантности тензора v относительно 1(g), g Е G, и r(h), h € Н, коммутируемости левых сдвигов с правыми и транзитивности действия 1(g), g Е G, на G легко выводится, что правые сдвиги r(h), h Е Н, являются переносами Клиффорда-Вольфа, т.е. изометриями, сдвигающими все элементы риманова многообразия (G, и) на одно и то же расстояние относительно соответствующей внутренней метрики р на G. Поэтому всякая 1-параметрическая подгруппа h(t) Е Н, t Е R, порождает векторное иоле Киллинга
на (С7,;/) постоянной длины. Тогда каждый путь г(Н(Р))(д), £ Е К, является геодезической на ((?, и) на основании предложения 5.7 главы VI в [15], откуда вытекает первое утверждение теоремы. Известно, что римановы многообразия (С, и) и (С/Н, у) вещественно аналитичны. Теперь оставшиеся утверждения следуют из теорем 1.3 и
Замечание 2.6. Пусть (С/Н,у) и (С, и) — римановы пространства, определенные выше. Из каждой собственной функции <р на С, отвечающей собственному значению А, можно получить собственную функцию ф на 6'///, отвечающую тому же числу А,