Диффеоморфизмы и потоки на гладких многообразиях со свойствами отслеживания

• Автор: Тодоров, Дмитрий Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Липшицево обратное отслеживание для диффеоморфизмов

1.1 Обзор имеющихся результатов

1.2 Определения

1.3 Основные результаты

1.4 Методы

1.5 Доказательство

1.5.1 Обратное отслеживание в Кт

1.5.2 Обратное отслеживание на замкнутых многообразиях

2 Липшицево обратное отслеживание для потоков

2.1 Определения
2.2 Основной результат
2.3 Идея доказательства
2.4 Доказательство утверждения 2.5 для М = Кт
2.4.1 Построение метода
2.4.2 Проверка условий (/-метода
2.4.3 Отслеживание точной траектории траекторией метода
2.5 Доказательство утверждения 2.5 для случая замкнутого
многообразия
3 Гёльдерово обратное отслеживание
3.1 Определения
3.2 Основной результат
3.3 Доказательство
4 Липшицево предельное отслеживание
4.1 Обзор имеющихся результатов
4.1.1 Двустороннее отслеживание
4.1.2 1Р отслеживание

4.2 Определения
4.3 Основной результат
4.4 І.ТЯРтЗІДу) влечёт структурную устойчивость
4.5 Структурная устойчивость влечёт ЬТйЬшУР(7)
Заключение
Приложение. Связь разрешимости разностных уравнений и гиперболичности
5.1 Определения
5.2 Основные результаты
5.3 Аналог теоремы Майзеля
5.3.1 Технические леммы
5.3.2 Доказательство дискретного аналога теоремы Майзеля
5.4 Аналог теоремы Плисса
Литература

Введение
Основными объектами исследования в данной работе являются пространство диффеоморфизмов замкнутого гладкого многообразия и пространство гладких векторных полей на замкнутом гладком многообразии. Оба пространства наделяются С1 топологией.
Классической задачей является задача о характеризации множества диффеоморфизмов, топологически сопряжённых с их С1-малыми возмущениями. Такие диффеоморфзимы называются структурно устойчивыми (определение структурной устойчивости восходит к Андронову и Понт-рягину [1]).
Если гомеоморфизм к гладкого многообразия М сопрягает два диффеоморфизма /,д : М —> М, /го / = д о /г, то /г отображает траектории динамической системы, порождённой диффеоморфизмом / на траектории динамической системы, порождённой диффеоморфизмом д.
Этот подход используется в определении структурно устойчивого векторного поля. Гладкое векторное поле X на гладком многообразии М называется структурно устойчивым, если для любого С^-малого возмущения У поля X существует гомеоморфизм к : М —» М, отображающий траектории поля X на траектории поля У с сохранением направления движения по траекториям.
Вопросу об условиях, при которых диффеоморфизм / или векторное поле X являются структурно устойчивыми, посвящены многочисленные исследования (см. [2-13]).
В последнее десятилетие появились работы, в которых структурная устойчивость характеризуется в терминах свойства отслеживания приближённых траекторий (псевдотраекторий).
Так, было показано, что С'1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания, совпадает со множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов (см. [14]). Аналогичный результат для векторных полей без точек покоя был доказан в [15].
Оказалось, что структурную устойчивость можно характеризовать, на-каладывая дополнительные условия на свойство отслеживания; так, по-

Положим ¥к = '(к,р-м+У^)— Рк Для к е [—АГ, А'"]. Тогда, с учётом
формулы (2.4.2), последовательность решает следующие уравнения:
= 4^ + Х(Р1£М% + <**ш, к 6 [-ЛГ, - 1].
Разделим получившиеся равенства на с? и возьмём
шк] = (Ук] - 44 )М 4^ = 4ь°М к е [—ЛГ, ЛГ].
Тогда
44 = 4ЧЙ) + *(44)44 + г*+ь * е [-ЛГ, ЛГ — 1]. (2.4.7)
Оценим

И'П <
4>[ёк,р-м + у^) —

, А: е [—ЛГ, ЛГ]. (2.4.8)
Оценим сначала первое слагаемое:
Ф?>{к,р-К + уМ) - у^ = |п[>, «№) - пЦ(а|4««)
= Х(р£4)44| < Л е [—Лг, ЛГ].
Теперь оценим второе слагаемое правой части (2.4.8), используя неравенство (2.4.5):

У к ~Рк

Рк-Рк

ад - Рк

< ВДсГ) + |Ф(1,№-1) - ф(1 - т, ФХ(А: + Т,р_*))| <

Ф(1,/Л-1) - Ф(1 - т,р

Ф(1 - Т,р^]) - Ф(1 - т, Ф1(Л - 1 4- т,р_лг))

*(44К + - 44) + 5 (1г1 +

Рк-1 - Рк

+<51441 - ф1(А -1 + т>р-

д2то1(сг) + 2(5!^ + а е [-лг +1, лг].