Геометрия псевдооктавных пространств

• Автор: Кузуб, Наталья Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 187 с.

1 Строение и геометрические свойства структурной группы

1.1 Тождество альтернативности

1.2 Изоморфизмы градуированных алгебр

1.3 Форма Киллинга

1.4 Алгебра Ли д%

1.5 Обобщенная алгебра

2 Кривые в псевдооктавном пространстве

2.1 Неизотропные кривые псевдооктавного пространства

2.2 Кривые псевдооктавного пространства с изотропными касательными

2.3 Изотропные кривые псевдооктавного пространства с вполне изотропными соприкасающимися плоскостями

3 Гиперповерхности в псевдооктавном пространстве

3.1 Шестимерные подмногообразия с положительно определенной нормалью
3.2 Шестимерные подмногообразия с отрицательно определенной нормалью
3.3 Погружение, задающее поверхность с положительно определенной нормалью
3.4 Погружение, задающее поверхность с отрицательно определенной нормалью
Список литературы
Приложения

Еще в начале XIX века возникла идея о классификации геометрических дисциплин не только по типу исследуемых объектов или по аппарату исследования, но и по подлежащим изучению свойствам геометрических объектов. Однако точную формулировку эта идея получила лишь в так называемой ” Эрлангенской программе”Ф. Клейна, в которой устанавливается, что в каждой геометрической дисциплине должны изучаться те свойства фигур, которые инвариантны относительно соответствующей группы преобразований. Первоначально эта программа рассматривалась как основная программа развития дифференциальной геометрии. Но идеи Ф. Клейна не смогли охватить всех аспектов развития геометрии.
В своей знаменитой лекции ” О гипотезах, лежащих в основании геометрии” немецким математиком Б. Риманом была предложена плодотворная идея '’многообразия”. Этим было положено начало новой геометрии. Сейчас риманова геометрия является очень важной и достаточно разработанной частью дифференциальной геометрии многообразий. Дифференциальная геометрия многообразий изучает различные инфи-нитезимальные структуры на многообразии и их связи со структурой самого многообразия.
Работами С. Ли и В. Киллинга было положено новое перспективное направление в исследовании римановых пространств. Предметом исследования этих пространств становится изучение группы Ли, которая является группой движений этих пространств. Римановы пространства часто обладают достаточно богатой группой движений, и это оказывается очень полезным при их исследовании. Если группа движений действует транзитивно, то изучение геометрии этих пространств можно свести к вопросам теории групп Ли. В свою очередь, описание группы Ли в значительной части сводится к изучению соответствующей алгебры Ли инфинитезимальных движений, определяемых как поля скоростей однопараметрических подгрупп этой группы.
Хотя идея Ф. Клейна, когда рассматривается О-пространство, то

есть множество вместе с заданной группой С его преобразований, оказалась недостаточно полной для описания различных геометрий - но она, в свою очередь, сыграла важную роль в дифференциальной геометрии многообразий. Если группа (7 действует транзитивно на каком-то множестве, то возникает однородное пространство. Изучение геометрии таких пространств, наиболее богатых различными геометрическими инвариантами, сводится к всестороннему описанию соответствующей группы Ли. Многие инфинитезимальные структуры на многообразиях, та-•* кие как тензорные поля различного типа, появились как инварианты
группы движений того или иного однородного пространства.
* Основы алгебраической теории групп Ли были заложены Э. Картаном, который построил теорию представлений полупростых групп Ли, еще теснее связал группы Ли с дифференциальной геометрией, создав так называемый метод внешних форм, который позволил ему разрешать проблему совместности уравнений Пфаффа. В дифференциальной геометрии многомерных пространств им дан метод подвижного репера, который в соединении с методом внешних форм является эффективным и в определенном смысле универсальным средством решения проблем локальной дифференциальной геометрии. Вопрос о существовании решения систем уравнений, рассмотренных Картаном, играет ключевую роль при доказательстве основных теорем, описывающих различные классы геометрических объектов.
Можно сказать, что развитие локальной дифференциальной геометрии пространств происходит уже около трехсот лет. В процессе ее развития усложняются изучаемые в ней геометрические объекты, совершенствуются ее методы. На ее основе путем обобщений и аналогий построены и современная ’’геометрия в целом”, и, так называемая, глобальная геометрия. Глобальная геометрия изучает не только пространства произвольной размерности и многооборазия весьма сложного устройства, но и, более того, в ней происходит разрыв с принятым ранее соглашением ограничиться рассмотрением свойств пространств в достаточно малой окрестности точки (локальность). ’’Геометрия в целом” сводит до минимума требования гладкости, то есть дифференцируемости функций, которыми она оперирует.
Тем не менее, классическая дифференциальная геометрия сохраняет большое значение и как отправная точка для обобщений и аналогий, и как объект для апробирования новых методов, поскольку она теснейшим образом связана с многочисленными прикладными проблемами. Вот по--г* чему и сейчас многие геометры во всем мире продолжают разработку

г = еь е = й1в4,
е'2 — а4е з + а3е4 + а5е6 + а6е7,
е'3 = —а4е2 — а3е 5 + (в! + Об)еб — а5б7,
е4 = ахвх + а3е2 + а2в5, (2-7)
е'5 — —а3е3 — а2е4,
е6 = а5е2 + («1 + аб)е3 + (®4 — а2)е7) е7 = «6е2 — «5е3 + (в2 — а4)вб,
где ах(з) аб(«) - функции натурального параметра я.
Первые три производные вектор-функции г (в) имеют вид:
г' = еь г" = а 4е4,
г'" = (ах)'е4 + (ах)2ех + а4а3е2 + а^еьВычислительные формулы для нахождения инвариантов ах,а2,а3 выглядят так:

(а2)2 - (ах)2 - ■^4([г"»г"'])2Базисные векторы находятся следующим образом:
ех = г ,
е4 = —г", а
еб = — [г"У],
е2 = (г'" - (ах)2ех - (ах)'е4 - а1а2е5),
а4аз
ез = [б1, е2], е6 = [е4,е2], е7 = [е2, е5],
(2.8)