Правильные и апериодические структуры в пространствах постоянной кривизны

• Автор: Долбилин, Николай Петрович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 143 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Разбиения, локальные теоремы
§ 1. Разбиение пространства, группа симметрий
разбиения
§ 2. Короны в разбиениях; перечисляющая
функция
§ 3. Локальная теорема для разбиений
§ 4. Обобщенная локальная теорема
§ 5. О разбиениях евклидовой и
гиперболической плоскостей
ГЛАВА II. Теорема о продолжении.
§ 1. Постановка задачи
§ 2. Обобщенные (<1 — 2)-короны
§ 3. Формулировка теоремы о продолжении
§ 4. Доказательство теоремы
§ 5. Приложения теоремы о продолжении
§ 6. Кристаллографические кластеры
ГЛАВА III. Перечисляющая функция для (г, Я) -множеств § 1. (г, Д)-множества, кристалл
§ 2. Перечисляющая функция и
характер множества
§ 3. Локальная теорема для кристалла
§ 4. Перечисляющая функция для кристалла
ГЛАВА IV. Глобальный критерий кристалла.
§ 1. Формулировка критерия
§ 2. Понятие р-точки
§ 3. Доказательство глобального критерия

ГЛАВА V. Апериодические семейства разбиений.
§ 1. Локальные правила
§ 2. Семейства разбиений
§ 3. Несчетность
акристаллографических семейств
Литература

Введение
В диссертации рассматриваются два типа геометрических структур в полных односвязных пространствах постоянной гауссовой кривизны (в евклидовом, сферическом или пространстве Лобачевского). Это - разбиения пространств на многогранники и (г, R) -множества или, как иначе их называют, множества Делоне. В силу важности приложений нас прежде всего будут интересовать разбиения с достаточно богатой симметрией: правильные и мультиправильные (кристаллографические) множества точек и разбиения пространства. Эта область геометрии имеет древнюю историю. Проекция правильного многогранника из его центра на вписанную сферу является особым случаем правильного разбиения двумерной сферы. Список из пяти правильных многогранников представляет собой результат решения, пожалуй, первой классификационной задачи в теории правильных разбиений.
Мощный толчок развитию теории правильных разбиений и смежных вопросов дала высказанная в первой половине XIX столетия гипотеза о правильности внутреннего строения кристаллов. В работах О. Браве, Г. Фробениуса, К. Жордана, Е.С. Федорова, Г.Ф Вороного, А. Шенфлиса, Г. Минковского и других была развита теория правильных разбиений пространства, конечных групп движений и кристаллографических групп. Федоров [88] и Шенфлис [93] нашли все кристаллографические группы движений трехмерного евклидова пространства. Всего, с точностью до сопряженности в группе аффинных преобразований, трехмерных кристаллографических групп - 219. Помимо этого Шенфлис доказал, что всякая кристаллографическая группа движений в трехмерном евклидовом пространстве содержит подгруппу параллельных переносов конечного индекса. Вороной [15] разработал метод непрерывных параметров изучения параллелоэдров Дирихле-Вороного, в частности построил алгоритм

ГЛАВА II
Теорема о продолжении
§1. Постановка задачи.
В этой главе мы решим задачу (В): описать условия, при которых выпуклый многогранник допускает правильное разбиение пространства Xd.
Эти условия формулируются в терминах обобщенных (d—2)-корон в теореме о продолжении. Постановка теоремы о продолжении была инициирована локальной теоремой для правильных разбиений. Она заключалась в том, чтобы описать необходимые и достаточные условия, при которых конечное множество многогранников, называемое короной, продолжалось бы до правильного разбиения всего пространства. Так как многогранники в разбиении не перекрываются, то и короны, из которых вырастает разбиение должны состоять из неперекрывающихся многогранников. С точки зрения первоначальной задачи о продолжении данной короны до правильного разбиения достаточно рассматривать с самого начала вложенные короны. Однако, в задаче (В) нам, a priori, дана не корона, а лишь выпуклый многогранник, из копий которого мы строим корону. Проверка возможности построения вложенной короны является трудной задачей, так как необходимо проверять, что любые два многогранника, входящие в корону, взаимно не перекрываются. Проще проверить, что не перекрываются между собой выпуклые многогранники, сходящиеся в каждой (d — 2)-грани многогранника из короны. Для этого достаточно, чтобы сумма двугранных углов многогранников при (d — 2)-мерной грани была равна 27г. Замечательно то, что в условиях теоремы о продолжении такая невложенная корона, в действительности, оказывается обычной вложенной короной некоторого правильного разбиения.