Топологические характеристики случайных алгебраических поверхностей

• Автор: Подкорытов, Семен Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 45 с.

Оглавление
Глава 0. Введение
0.0. Предмет работы
0.1. Конфигурации точек и прямых. Поверхности
степени
0.2. Случайные алгебраические гиперповерхности
Глава 1. Конфигурации точек и прямых
1.0. Структура главы. Специальные обозначения
1.1. Конструкции
1.2. Запреты
1.3. Одна лемма
1.4. Зеркальные конфигурации точек и перестановки
1.5. Незеркальность поверхностей степени
Глава 2. Случайные алгебраические гиперповерхности
2.0. Специальные обозначения и прочее
2.1. 2-струя благородного случайного многочлена
2.2. Регулярность случайного многочлена
2.3. Эйлерова характеристика случайной гиперповерхности
Литература

0. Введение
0.0. Предмет работы
Топология вещественных алгебраических многообразий — один из основных разделов вещественной алгебраической геометрии. Ею занимались многие известные математики, среди них — Клейн, Гильберт, И. Г. Петровский, А. О. Олейник, Р. Том, В. А. Рохлин, В. И. Арнольд, Д. А. Гудков, О. Я. Виро, В. В. Никулин, В. М. Харламов и другие. Круг возникающих здесь вопросов весьма широк ([6], [28], [2], [4], [17]). Это и топологические характеристики вещественных алгебраических многообразий, и возможное расположение их в (аффинном или проективном) пространстве (классическая шестнадцатая проблема Гильберта), и проблема жесткой изотопности, и вопросы, касающиеся “средних значений” топологических характеристик алгебраических многообразий.
В шестнадцатой проблеме Гильберта особо выделены поверхности степени 4 — квартики. Окончательно жесткая изотопическая классификация квартик была получена Никулиным и Харламовым в [14], [16], [25]. Для этого потребовалось доказать незеркальность некоторых квартик, что потребовало применения весьма нетривиальной техники, включая глобальную теорему Торелли и теорему об эпи-морфности отображения периодов. Для части этих квартик Харламовым были предложены элементарные доказательства, использу-

ющие аналогию между поверхностями и конфигурациями точек и прямых в пространстве. Виро в [3] предложил изучать такие конфигурации сами по себе. В настоящий момент теория подобных конфигураций (в том числе старших размерностей) представляет собой самостоятельный быстро развивающийся раздел вещественной алгебраической геометрии (см. [5], [23], [11], [27], [26], [21], [22]).
С другой стороны, особенно в последнее время, внимание привлекают вопросы, касающиеся “средних значений” топологических характеристик алгебраических многообразий. Один из первых результатов в этом направлении был получен М. Кацем, который нашел математическое ожидание числа корней вещественного многочлена с независимыми стандартными нормальными коэффициентами ([24], см. также [10]). В работах И. А. Ибрагимова и Н. Б. Масловой [7], [8], [9], [12], [13] изучалось распределение числа корней многочлена большой степени с независимыми одинаково распределенными коэффициентами. Также изучалось распределение значений корней случайного многочлена ([18]). В дальнейшем Ибрагимов оценил математическое ожидание числа компонент случайной вещественной гиперповерхности ([III]).
Предлагаемая диссертация посвящена именно этим вопросам. Виро и Ю. В. Дроботухина поставили вопрос о том, сколько точек и прямых может быть в зеркальной конфигурации. Частичные результаты в этом направлении были получены самим Виро и А. Боробиа.

(2тг)2

б) для любого г > 0 при с —> О имеем
[ |»£(«)|ей;->0.
Лб!11, Мг
Доказательство, а) Пусть с € К. То, что функция Д знакопостоянна, очевидно. Для вычисления интеграла достаточно сделать замену
»=<сц-”1
(с2«2 + |г>|2)
и использовать легко проверяемое равенство
11 (гД
2 0(1
б) Это следует из оценки □
2.3.4. Утверждение. Пусть и £ Е. Пусть V £ — слу-
чайный вектор, имеющий нетривиальное сферически симметричное нормальное распределение со средним 0 . Пусть
Л = ЕнЛ.
(А С1(1
Тогда: