Двойственная геометрия распределения Картана

• Автор: Кузьмина, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 129 с. : ил.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

1. Постановка вопроса и актуальность темы

2. Целыработы

3. Методы-исследования

4. Научная новизна

5. Теоретическая и практическая значимость

6. Апробация

7. Публикации

8. Вклад автора в разработку избранных проблем

9. Структура и объём работы

10. Некоторые замечания
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
ГЛАВА I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТАНА
§1. Распределение Картана с4Г в проективном пространстве Р2т
1. Дифференциальные уравнения распределения Картана СМ'
в проективном пространстве Р2т
2. Инвариантные оснащения распределения Картана С4Г в
в смысле А. П. Нордена и Э. Картана
§2. Ассоциированное гиперполосноераспределение Картана сЛб
в проективном пространстве Р2т
1. Дифференциальные уравнения ассоциированного гиперполосного распределения Картана с?*6 в Р2ш; поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении сЛб
2. Двойственный образ регулярного ассоциированного! гиперполосного распределения Картана С&6 в Р2т
§3. Инвариантные оснащения распределения Картана оЛР в Р2т
с использованием ассоциированного гиперполосного распределения
1. Двойственная нормализация распределения Картана С? Г в Р2,„
2. Оснащение в смысле Э. Картана распределения Картана
С4Г в Р2т

3. Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик 02тщ
на распределении Картана

Глава II. ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ
НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТАНА ЫГ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р2т
§1. Двойственные аффинные связности на нормализованном
распределении Картана 0>П в Р2т
§2. Первая проективная связность на оснащённом
в смысле Э. Картана распределении Картана оИ в Р2т
§3. Двойственные проективные связности
на оснащённом распределении Картана ОН в Р2т
§4. Нормальные связности первого рода,
индуцируемые на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана ОН в Р2т
$5. Поля плоскостей на распределении Картана,
параллельные в нормальных связностях
§б. Приложение двойственных аффинных связностей к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани
на распределении Картана ОП в Р2т
1. Двойственные поля гармонических плоскостей
вполне сопряжённой т-ткани Е с= ОП
2. Чебышевские и геодезические /л-ткани первого и второго рода
на распределении Картана
Глава III. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ КАРТАНА Ут
В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р2ш
§1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов
на поверхности Картана
1. Дифференциальные уравнения поверхности Картана Ут в Р2га
2. Ассоциированная с поверхностью Картана Ут
гиперполоса Картана Нт в Р2„;
3. Двойственный образ
регулярной гиперполосы Картана Нт в Р2,л
§2. Нормализация Нордена-Чакмазяна
поверхности Картана Ут в '?2т
§3. Двойственные аффинные связности на поверхности Картана
и их приложения
1. Двойственные аффинные связности на нормализованной
в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Картана Ут в Р2ш
2. О внутренней геометрии взаимной нормализации
поверхности Картана Ут в Р2ш
3. Двойственная геометрия сопряжённой сети
на поверхности Картана
ЛИТЕРАТУРА

3. Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик £?2ш-1 на распределении Картана.
Определение. Согласно работе [73], гиперквадрику 02т_), касающуюся гиперплоскости П2ш_1 оснащающего распределения в его центре В0, назовём соприкасающейся с ассоциированным регулярным гиперпо-лосным распределением Картана су€ в (а следовательно, с исходным распределением СМ" в если с любой кривой / (см. (1.70)), принадлежащей распределению Картана С О" она имеет касание второго порядка, то
есть В0,В0 +ВВ0,В0 +с!В0 <а(21т_х(тоб/)
Пусть в репере третьего порядка Я = Вр} уравнение гиперквадрики б!и-1 имеет вид
Вжх7хЖ=0, ёж=ёш- (1Л52)
Точка В0 принадлежит гиперквадрике 02ш-1 ПРИ выполнении соотношения
&оо = 0. (1.153)
Требование касания гиперквадрики 02т- с главной касательной гиперплоскостью П2т_1(Т?о) гиперполосы Картана сТб* в ^2 т в точке В0 приводит к равенствам
я0г=^=°- а-154)
Гиперквадрика б|„г_! является соприкасающейся с любой кривой / (1.70), принадлежащей поверхности Картана 0?Т тогда и только тогда, когда справедливы соотношения
ёх+ё^тёТ
Потребуем, чтобы гиперквадрика 02т- была невырожденной, что в силу (1.153), (1.154) равносильно неравенству
, ёЛ ёг ёик ё т>
тогда g02т^0. За счёт нормировки коэффициентов уравнения (1.152) можно добиться, чтобы
ёоат=~1 ё1к=ё1т- (1-155)
В силу выражений (1.153) — (1.155) уравнение соприкасающейся гиперквадрики 02т_х запишется в виде
(ё0,2т)
& 0;