Алгебро-топологические инварианты многообразий с действием групп Z/ ρ и T n

• Автор: Панов, Тарас Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление
Введение
1. Вычисление родов Хирцебруха многообразий в терминах действия группы Ъ /р
1. Кобордизмы, формальные группы и роды Хирцебруха
2. Роды Хирцебруха и теорема Атьи-Зингера об индексе
3. Обобщенная теорема Лефшеца о неподвижных точках (формула Атьи-Ботта) и приложения к действиям Z/p и родам Хирцебруха
4. Вычисления для рода Тодда, эйлеровой характеристики и Т-рода (сигнатуры)
4.1. Вычисления для эйлеровой характеристики
4.2. Вычисления для рода Тодда
4.3. Вычисления для Т-рода (сигнатуры)
5. Общие результаты о вычислении родов Хирцебруха. через инварианты действия Ъ/р
6. Вычисления для .4-рода и Х(Гхарактеристики
6.1. Вычисления для ,4-рода
6.2. Вычисления для у г/-х а.р акт ер и ст и к и
7. Связь с кобордизмами и уравнениями Коннера-Флойда
8. Эллиптический род и приложения, связанные со специальными многочленами
9. Действия группы Ъ/р с неподвижными подмногообразиями, имеющими тривиальное нормальное расслоение (простые действия)
2. Описание множества классов кобордизмов многообразий, несущих простое действие Ъ/р
10. Кольцо (У*(2/р) эквивариантных кобордизмов со свободным действием Ъ/р и уравнения Коннера-Флойда
11. Образующие Пр © Ъ/р-модуля А( 1) 0 Ъ/р и !© © 2р-модулей А( 1) © Ър, Ар(1) ©

12. Описание множества классов кобордизма многообразий с простым
действием 2/р и некоторые следствия
3. Применение методов алгебраической топологии для изучения действий тора на многообразиях, определяемых простыми многогранниками
13. Простые многогранники и их кольца граней
14. Многообразия, определяемые простыми многогранниками
15. Спектральная последовательность Эйленберга-Мура
16. Вычисление когомологий многообразия Ер
16.1. Аддитивная структура когомологий Ер
16.2. Мультипликативная структура когомологий Ер
Литература
Введение
Настоящая работа посвящена изучению алгебро-топологических инвариантов многообразий, допускающих действие циклической группы простого порядка Z/p или компактного тора Тп = (S'1)n.
Изучение действий группы Z/p (т.е. преобразований простого нечетного периода) — одно из классических приложений методов алгебраической топологии. С начала 60-х годов в задачах такого рода начинают применяться обобщенные теории когомологий. Одним из основных подходов к изучению действий конечных групп и торов на многообразиях становится применение теории кобордизмов. Основы этого подхода были заложены в монографии Коннера и Флойда [8], где в рамках теории кобордизмов были решены многие задачи теории неподвижных точек действий конечных групп на многообразиях и обозначены новые проблемы. Решению одной из таких проблем и посвящена глава, 2 данной работы. Обширность применения методов теории кобордизмов в задачах о неподвижных точках объясняется ее геометричностью, которая позволяет описывать инварианты действия групп непосредственно в терминах классов кобордизмов неподвижных подмногообразий. Дальнейшее развитие этот метод получил благодаря применению аппарата теории формальных групп. Техника формальных групп была впервые применена в задачах о неподвижных точках действий конечных групп в работах С.П. Новикова [15],[16]. В работах A.C. Мищенко [12], [13] в наиболее общем случае описан класс кобордизма многообразия с действием Z/p через наборы весов в неподвижных подмногообразиях и предъявлен полный набор образующих кольца унитарных Z/p-кобордизмов. Важные результаты о действиях Z/p были получены применением теории формальных групп в работе Г.Г. Каспарова [7]. В наших исследованиях мы получаем ряд результатов, обобщающих результаты этой работы. Одной из первых работ, посвященных применению методов теории кобордизмов к 5а-действиям, явилась работа С.М. Гусейн-Заде [6]. В работе O.P. Мусина [14] найдены образующие колец унитарных 51-кобордизмов и унитарных б'1-кобордизмов без неподвижных точек. Метод формальных групп для изучения действий группы Z/p получил существенное развитие в работе В.М. Бух-штабера и С.П. Новикова [4], где были также получены первые результаты для родов Хирцебруха. многообразий с действием Z/p. Многие результаты Коннера и Флойда получили красивую и простую интерпретацию в терминах так называемой "формальной группы геометрических кобордизмов”. Метод формальных групп оказался очень плодотворным и способствовал дальнейшему развитию взаимосвязей действий групп и алгебраической топологии. В наших исследованиях мы также в значительной мере опираемся на аппарат теории формальных групп.
Параллельно с применением теории кобордизмов и формальных групп развивался другой подход к изучению инвариантов действий групп Z/p, S1 и Г” на. многообразиях, основанный на применении общей теоремы Атьи-Ботта о неподвижных точках [20], обобщающей классическую формулу Лефшеца, и теоремы Атьи-Зингера об индексе эллиптического оператора [1]. Здесь естественно возникает вопрос о взаи-

Пример 5.1. Рассмотрим -характеристику многообразия М. Применив к формуле из теоремы 2.2 наш “рецепт”, мы получим следующую формулу для функции неподвижной точки V:
Л1 + уе2™к/р
(22)

Подставив сюда значения у — —1,0,1, мы получим формулы для функций неподвижных точек для эйлеровой характеристики, рода Тодда и Т-рода:
Л 1 Л 1 4- e2irixk/p
».(*>) = с мр)-П
к=1 к
которые совпадают с формулами (9), (14), и формулой из работы [4], полученными из теоремы 3.2 Атьи-Ботта.
Рассмотрим теперь общий случай произвольного рода Хирцебруха р>:
где gv(u) = /(£(«) — логарифм соответствующей формальной группы. Пусть существует эллиптический комплекс Ev расслоений, ассоциированных с ТМ, индекс которого равен <р(М). Применив описанный выше “рецепт”, мы получим, что функции неподвижных точек действия д на. М будут вычислятся по формуле
'<*>-П Й5ЙЙ' (23)
где Xk — “веса” неподвижной точки V, определяемые из условия k = exp
.Vk ф 0 mod р, Xk — собственные числа матрицы Якоби 3-р{д) отображения д в точке V. Эквивариантный индекс комплекса Еопределяется тогда по формуле
M(9’EJ=5SriFvri'
Далее, ~ Y/ez/pindiff1! Л) = 5 — альтернированная сумма размерностей инвариантных подпространств действия д на когомологиях комплекса Еv и ind( 1, Ev) = md(££) = ip{M). Поэтому имеем
„(А/) = Ы(1 ,Е,) = - £ indfe/, Е,) + /» = -ХЕП +