Критические конфигурации шарнирных многоугольников и цепей

• Автор: Жукова, Алена Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
1.1 История вопроса: шарнирные механизмы
1.2 История вопроса: шарнирные многоугольники
1.-3 История вопроса: ориентированная плотцадь шарнирного многоугольника
1.4 История вопроса: циклические многоугольники
1.5 История вопроса: шарнирные цепи
1.6 Основные результаты работы
1.7 Обозначения
1.7.1 Обозначения для шарнирных многоугольников
1.7.2 Обозначения для шарнирных цепей
2 Шарнирные многоугольники
2.1 Условия типичности шарнирного многоугольника
2.2 Локальная диагональная система координат
2.3 Динамика морсовскнх точек. Вычисление знака определителя гессиана
2.4 Вычисление индекса Морса по индукции
2.5 Формула для индекса Морса
2.С Локальные экстремумы шарнирных многоугольников
3 Шарнирные цепи
3.1 Формула для вычисления индекса Морса
3.2 Локальные экстремумы шарнирных цепей
4 Примеры
4.1 Примеры шарнирных многоугольников
4.2 Шарнирные пятиугольники
4.3 Примеры шарнирных цепей
5 Заключение

Глава 1 Введение
Данная работа посвящена исследованию критических конфигураций двух частных случаев шарнирных механизмов шарнирных многоугольников и шарнирных цепей. С одной стороны, эта тема относится к топологической робототехнике - относительно новой математической дисциплине, чье развитие сейчас весьма динамично. С другой стороны, тема тесно связана с обобщениями полинома Герона и формулы Брахмагупты полиномами Роббинса-Варфоломеева для вписанных многоугольников.
1Л История вопроса: шарнирные механизмы
Шарнирный механизм это граф без петель и кратньтх ребер, для каждого ребра которого задано положительное число -- его длина. Реализацией шарнирного механизма, или его конфигурацией называется его вложение в некоторое объемлющее метрическое пространство (например, в К2), такое, что для каждого ребра длина отрезка, его реализующего, равна заданной длине ребра. При этом положение некоторых вершин может быть задано заранее. Все возможные конфигурации шарнирного механизма формируют конфигурационное пространство шарнирного механизма или его пространство .модулей. Его наделяют естественной топологией, порождаемой топологией пространства, в которое вкладывается шарнирный механизм. Пространство модулей шарнирного механизма может быть доволь-

но сложным топологическим объектом, в частности, известно несколько примеров шарнирных механизмов с переменной размерностью пространств модулей (иными словами, с переменной степенью свободі)! шарнирного механизма), (см., например, [8|).
Шарнирные механизмы и их конфигурационные пространства тема, давно ставшая классической. Еще в 1876 г. Альфред Кемпе в [39] сформулировал и доказал (правда, с некоторыми пробелами) первый важный теоретический результат, сейчас известный как Теорема Универсальности для шарнирных механизмов:
Теорема. Для любого пересечения, алгебраической кривой с замкнутым диском на вещественной евклидовой плоскости найдется шарнирный механизм па плоскости, вычерчивающий эту часть кривой. □
У. Терстон переформулировал ее как "теорему о подписи": Для каждой подписи существует шарнирный механизм на плоскости, с какой угодно точностью "подделывающий" ее.
В 2000 году М. Капович и Д. Миллсои в |38] уточнили результат Кемпе па языке алгебраической геометрии, усилили его и исправили имевшиеся ошибки. В частности, они доказали следующую теорему:
Теорема. Для любого алгебраического множества А в пространстве К'" существует шарнирный механизм на плоскости, конфигурационное пространство которого изоморфно по Нэшу дизъюнктному объединению конечного количества копий А. □
Инженерные задачи мотивировали разработку темы в более практическом ключе. Шарнирные механизмы широко применяются для решения механических задач. Классическим примером такого применения являются механизмы П.Л. Чебышева, модели которых можно увидеть в музее СПбГУ. Среди и их есть механизм, преобразующий вращательное движение в движение.
2.2 Локальная диагональная система координат
Результаты, приведенные в этом параграфе, были получены в совместной работе с Г.Ю. Паниной [2).
Мы опишем локальную систему координат на пространстве-модулей Л4(Ь) типичного шарнирного многоугольника Ь, в которой гессиан Невв(Р) принимает вид некоторой трехдиагональной матрицы. Мы получим формулы для ее элементов, которые сами по себе довольно громоздки и не могут быть непосредственно использованы для вычисления индекса Морса. Однако, опираясь на них. мы сможем сделать выводы о невырожденности критических точек шарнирного многоугольника (пункт 3 условия типичности).
Для вписанной конфигурации Р — {р-,ро-, .Рп) шарнирного многоугольника положим
% = ІРІ-Р-2І, 9 = Р2,Р;,, 9-і = Рп,Рг, -
Для удобства мы перенумеруем вершины и длины сторон конфигурации Р следующим образом (см. рис. 2.1):
(гьг2 = {р,Р2-Рт1>А,'Р»-: ),
9і = Ь’м 1 І+2І-
Иными словами, числа сц и д, это переименованные и переставленные длины сторон и диагоналей конфигурации Р. Конфигурация Р раскладывается в гомологическую сумму треугольников
Т, = г,.+2), г = 1
Каждый треуголі.ггак Т) наследует ориентацию от конфигурации Р. Положим
5; — ЗІдп(А(Т;)).
Предположим, что і'і 7ші+і для г — 2