Современные приложения операдных методов в алгебраической топологии

• Автор: Попеленский, Федор Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Соотношения в когомологиях алгебр Стинрода
§1.1. Основные определение и примеры
§1.2. Гомологии (ко)алгебр Сташефа
§1.3. Происхождение знаков
§1.4. Описание когомологий алгебр
§1.5. Базисные соотношения в когомологиях алгебры Стинрода
Глава 2. Нормальная форма элемента свободной алгебры Сташефа
§2.1. Вычисления в ассоциативных алгебрах
§2.2. Запись элемента свободной алгебры Сташефа
§2.3. Алгоритм приведения записи к нормальной форме
Глава 3. Операции Стинрода в кобордизмах
§3.1. Операда £
§3.2. Биоперады и мультипликативные семейства
§3.3. Биоперада ЕО и Ев~мультипликативные семейства
§3.4. Основная конструкция
§3.5. Связь с операциями том Дика и некоторые вычисления
Литература

Введение
Понятие операды было введено Дж.П.Мэем. Как указано в [22], операдный подход оказался наиболее приспособленным к решению следующих основных задач теории итерированных пространств петель: удобная формулировка принципа распознавания , удобная геометрическая аппроксимация пространств вида QnSnX и QSX, возможность легкого построения гомологических операций. Таким образом, впервые понятие операды возникло в категории топологических пространств. В категорию цепных комплексов понятия операды и (ко)алгебры над операдой были перенесены в начале 80-х В.А.Смирновым [10, 11]. В настоящее время область применения теории операд значительно расширилась. Понятие операды оказалось связано с алгебраической геометрией, теорией узлов, с пространствами модулей, теорией представлений, циклическими гомологиями, квантовой теорией поля (см. [23, 29, 21]). Этот, если так можно сказать, общематематический статус операд был зафиксирован проведением в 1995-1996 нескольких конференций под общим девизом “Renaissance d’Operads”.
В ряде работ [9, 8, 12] операдные методы были применены к описанию когомологий алгебр. Отправной пункт этого описания — теорема, доказанная Т.В.Кадеишвили(см. [2]) о том, что на гомологиях ассоциативной алгебры относительно внутреннего дифференциала, заданной над полем, имеется некоторая специальная структура алгебры над А-операдой. Такие алгебры сейчас принято называть алгебрами Сташефа.
Цепной комплекс А является алгеброй Сташефа, если для всех п > 0 заданы отображения тг„ : А®("+2) —> А, повышающие степень на п и удовлетворяющие тождествам
дтт„ — ( — 1)"ж„д—
- Е(-1)'("’;Лл-Д1 ® ® ® 1 « ... ® 1) = 0.

Примером алгебры Сташефа может служить ассоциативная алгебра.

В этом случае щ — это умножение алгебры, а остальные п„ нулевые.
Следует различать два понятия гомологий дифференциальной градуированной алгебры А. Во-первых, гомологиями алгебры можно называть гомологии А как цепного комплекса (относительно имеющегося на А внутреннего дифференциала). Во-вторых, гомологиями А можно называть гомологии В-конструкции алгебры А. Какие именно гомологии имеются в виду, при необходимости будет оговариваться. Под когомологиями ассоциативной алгебры, если не оговорено противное, понимается Ех(Л, Н).
В перечисленных работах В.А.Смирнова определены понятие неразложимых элементов алгебры Сташефа и понятие соотношений. Кроме того, для алгебры Стинрода введено понятие базисных соотношений. Им вычислены неразложимые элементы в когомологиях алгебры Стинрода, соотношения, базисные соотношения. Им также было показано, каким образом базисные соотношения порождают всевозможные соотношения в когомологиях алгебры Стинрода А2. Тем самым, В.А.Смирновым было получено полное описание когомологий алгебры Стинрода А2. В первой главе методы работ [9, 8, 12] применяются для получения полного описания когомологий алгебр Стинрода Ар, р > 2.
В §1.1 даются основные определения, касающиеся операд в категории цепных комплексов и приводятся основные примеры. Семейство Е — Eiji) | ;/ > I ] называется операдой с 1 (в категории цепных комплексов), если
(а) задано отображение семейств у : Е х Е —Е, где
(ЕхЕ)У)= 0 Е(к}фШ(п)®...фЕик),
к-,3=31+-+]к
такое, что коммутативна диаграмма
Ех(ЕхЕ) ±4 ЕхЕ -А Е 1Т ||
(ЕхЕ)х Е ЕхЕ -А Е

соотношение я-1 (*<+!, А;, /гт) + /г.+г/*.’ = 0. Отсюда вытекает известное (см. [16]) соотношение /г(+2/г? = й®+1.
Применив Й7Г2 к /г;+2 ® Т;и ® Ы © /г;+1 и проделав аналогичные преобразования, получим /г+2/г,
Для р > 2 ограничимся выводом соотношений коммутативности. Вычисление ф((,1+р1) и -ф{т0{) дает, соответствено,
7г.,Лу = —/г/г; = (—1) IЛ.у/г и g0hi = /г,-да
Дальнейшие продвижения связаны с тем, что двойственная коал-гебра Кр явлется биалгеброй. Это позволяет из соотношений ф(х), соответствующим неразложимым х 6 Кр, получить все остальные. Отсюда и далее для упрощения дальнейших формул будем опускать индекс у операции л„, поскольку он восстанавливается по количеству аргументов.
Назовем соотношение ф(х) базисным, если х Е Кр —неразложим. Для р = 2 такими соотношениями являются 7г(/г„ 0 ... ® /го) = 0, п > 1.
Для р > 2 к выписанным соотношениям следует добавить 7т(/г„
... ® /го © 0.
Разберём подробно случай р > 2.
Определим на мономах, составленных из ро, /го, /*ь которые
будем записывать как то = /г“” ... /г?1Ло“//о > операцию [ ] следую-
щим образом.
a) если Д ф 0, то есть в мономе встречается д0, то [то] = 0;
b) пусть г — наибольшее натуральное число такое, что ого = ... = ог;_1 = 0. Если «о ф 0, то * = 0. Тогда
N = К" КХК'} = ЕС 1Ж+а если а,- делится на р и [то] = 0 в противном случае.
Этими двумя свойствами [ ] полностью определяется.
Пусть АТ =*1®... 0х{1;Хг = %+1 ®...<8>ж;1+;2;
Хи = *«1+...+{4_1+1 ®... ®*<,+.„+|, — к наборов тензорных произведений, в которых все Л; 6 Н,(Ар) неразложимы.