е-компактификации, Н-замкнутые расширения и обобщенные близости

• Автор: Матюшичев, Константин Викторович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 93 с.

Оглавление
Введение
1 Критерии е-компактифицируемости
1.1 Разбиение гиперабсолюта на замкнутые подмножества .
1.2 Отображения, непрерывные относительно всюду плотного множества
1.3 0-близости и ^-структуры
1.4 Обобщенные близости
2 Продолжение непрерывных отображений хаусдорфовых пространств
на их Н-замкнутые расширения
2.1 Непрерывные относительно всюду плотного множества отображения
2.2 Теорема о продолжении
3 Примеры
3.1 Квадрат X* и его применение к построению примеров .
3.2 О вполне регулярных пространствах,
для которых еХ = (ЗХ
3.3 О наибольшей полу регулярной
е-компактификации
3.4 5-пространства
Литература
Введение
Основную роль в настоящей работе играют понятия е-компактифика-ции и е-компактифицируемого пространства, введенные Хехлером в
[21]. Приведем их определения (всюду далее рассматриваются только хаусдорфовы пространства). Пусть пространство У является расширением пространства А. Мы говорим, что У — е-компактификация X, если из любого открытого покрытия пространства У мояшо выделить конечное подсемейство, покрывающее X. Пространства, обладающие е-компактификациями, называются е-компактифицируемыми. Под другими названиями те же понятия были введены и рассмотрены в работах [3] А. В. Архангельского и Хамди М. М. Генеди и [5], [6] А. В. Иванова. Именно, пространство X называется компактным в У [3], если открытые покрытия пространства У обладают свойством, описанным выше. В [3] показано, что компактность X в У равносильна компактности X в замыкании [А^]у. Поэтому в [5] и [6] пространство А" предполагается всюду плотным в У, и в этой ситуации У называется относительной компактификацией А, или ОА-расширением X. Хехлер [21] показал, что расширение У пространства X в том и только в том случае является е-компактификацией А, если У Л-замкнуто и для любого у Е У подпространство {у} и А пространства У регулярно. В частности, всякое е-компактифицируемое пространство регулярно. Таким образом, е-компактификации являются частным случаем Л-замкнутых расширений, и изучение их свойств вполне естественно проводить в рамках общей теории Л-замкнутых расширений. Первая задача, которая здесь возникает, заключается в следующем: выделить из всего множества Л-замкнутых расширений (обозначим его !Х(Х)) данного пространства А его е-компактификации (если они имеются). Для этого необходимо иметь удобное описание всех Л-замкнутых расширений данного пространства. Краткая история возникающих при этом понятий такова.
Истоком теории Л-замкнутых пространств стал ”Мемуар о компактных топологических пространствах” П. С. Александрова и П. С. Уры-

сона, написанный в 1922-1923 гг. (см. [2]), в котором авторы определили Д-замкнутые пространства как пространства, замкнутые во всяком объемлющем их хаусдорфовом пространстве. В работе [13] А. Н. Тихонов доказал, что всякое хаусдорфово пространство содержится в качестве подпространства в .Незамкнутом пространстве, а М. Стоун
[22] показал, что всякое хаусдорфово пространство имеет Н-замкнутое расширение. В дальнейшем количество публикаций, посвященных Д-замкпутым пространствам и Д-замкнутым расширениям хаусдорфо-вых пространств, неуклонно возрастало; на этом пути естественным образом возникло общее понятие Н-замкпутого топологического пространства, то есть такого пространства, которое, обладая топологическим свойством V, замкнуто во всяком объемлющем его топологическом пространстве со свойством V. Итак, для всякого хаусдорфова пространства определено множество %{Х). В данной работе мы ограничиваемся полурегулярными пространствами и полурегулярными Д-замкнутыми расширениями этих пространств (под ‘К(Х) теперь будем понимать именно полу регулярные //-замкнутые расширения пространства X), так как этот случай имеет несколько удобных описаний, к которым мы и переходим. В главе 1 применяются три способа построения множества “К(Х): первый — при помощи разбиений на замкнутые множества гиперабсолюта пространства X; второй — при помощи Д-структур на пространстве X; третий — при помощи обобщенных близостей на нем. Каждый из этих способов обладает своими преимуществами.
Так, конструкции, в которых участвуют гиперабсолют ВХ (то есть множество всех ультрафильтров в топологии пространства X с естественным образом определяемой топологией) и абсолют аХ пространства X (см., например, обзор С. Илиадиса и С. В. Фомина [7]), в полной мере используют замечательные свойства ВХ: компактность, нульмерность, экстремальную несвязность и т. п. Уже здесь первостепенную роль играет топология малых образов открытых множеств, введенная
В. В. Федорчуком в [15]. С помощью этих понятий множество Д(Х) получает простое и прозрачное построение (предложения 1.1.1 и 1.1.2 настоящей работы и текст после них). Сюда же относятся несколько критериев (теорема 1.1.2) локальной Д-замкнутости пространства X (под локально Д-замкнутым пространством понимается хаусдорфово пространство, каждая точка которого имеет окрестность, замыкание которой Д-замкнуто):

некоторый ультрафильтр £ Е р. Условие £ Е р равносильно £ Э 7. Найдется элемент д Е Ят, имеющий вид д = П{Оа : С? Е А} для некоторого А Е ктХ, такой, что £ Е д, что равносильно £ I) А. Если С Е А, то С согласно лемме 1.3.1 будет г/2-окрестностыо ультрафильтра £; поскольку гц С г/2, то С будет и 7/1-окрестностью ультрафильтра £, откуда опять-таки по лемме 1.3.1 имеем: С Е 7. Итак, А С 7, откуда р С д, то есть Я,п вписано в Я,]2. Доказано, что Я^ > Я,12.
Пусть теперь Я,п > Я,1г. Предположим, что включение т/1 С 7/2 не имеет места. Тогда найдется такая 0-близость б, что б Е т/1, но б ^ 7/2. По аксиоме Шя получим существование такого ультрафильтра £, что некоторая его 7/2-окрестность Со не является его {б}-окрестностью, а, значит, не является и его 7/1-окрестностью. Пусть р Е Я,п и д Е Д/2 таковы, что £ Е р и £ Е (/. Так как КД > Д72, то р С д. Как и раньше, р = П{Ое : С Е 7} для некоторого 7 6 а д — П{Ос : С Е А}
для некорого А Е к^Х. Имеем по лемме 1.3.1: С о Е А. Далее, р = Г{Ос ' С Е 7} С д С О с, о, откуда следует существование такого (Д Е 7, что Оох С О(70, что в свою очередь влечет СД С Со. Так как является 771-окрестностью ультрафильтра £, то таковой же будет и Со — противоречие. Итак, 7/1 С 7/2.П
Следствие 1.3.1 Отображение г/ : —» 8Х,д(Я) = Яг; является
биекцией.
Доказательство. Выше было показано, что т/ сюръективно. Предложение 1.3.1, очевидно, устанавливает инъективность отображения 77.□
НХ в дальнейшем рассматривается как ч. у. множество и вместо 771 С ?/2 можем писать 771 > 772. Отображение 77 : НХ —» б'Х становится при этом порядковым изоморфизмом.
Опишем теперь такие элементы ч. у. множества НХ, которые соответствуют полурегулярным е-компактификациям пространства X (если таковые имеются).
Определение 1.3.1 Пусть 7/ — некоторое семейство в-близостей на пространстве X. Мы будем говорить, что 7/ удовлетворяет аксиоме 1е, если для любой канонической 77-окрестности С ультрафильтра £ найдется каноническая т/-окрестность Н ультрафильтра £ такая, что [Н] С С.
Теорема 1.3.1 Семейство г/ является элементом ч. у. множества НХ, соответствующим полурегулярной е-компактификации про-