Примарные разложения узлов в утолщенных поверхностях и виртуальные узлы

• Автор: Кораблев, Филипп Глебович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 71 с. : ил.

Оглавление
Введение

0.1 Предварительные сведения и обзор литературы

0.1.1 Связь темы диссертации е известными результатами

0.2 Структура и краткое содержание настоящей работы

1 Узлы в утолщенных поверхностях

1.1 Редукции узлов в Р1 X

1.1.1 Четыре типа редукции

1.1.2 Мотивирующие примеры

1.2 Элементы теории корней

1.2.1 Понятие корня

1.2.2 Теорема о существовании и единственности корня
1.2.3 Граф Г для узлов в утолщенных поверхностях
1.3 Доказательство свойства (РС)
1.3.1 Функция сложности
1.3.2 Вспомогательные утверждения
1.3.3 (р — функция сложности
1.3.4 Последовательность пар. согласованная с последовательностью редукций
1.4 Доказательство свойства (МИ)
1.4.1 Доказательство свойства (МП)
1.4.2 Доказательство свойства (МР2)
2 Виртуальные узлы
2.1 Введение в теорию виртуальных узлов
2.1.1 Виртуальные диаграммы и узлы

Оглавление

2.1.2 Виртуальные узлы как узлы в утолщенных поверхностях
2.2 Единственность примарных разложений виртуальных узлов
2.2.1 Связное суммирование виртуальных узлов
2.2.2 Прпмарные разложения виртуальных узлов

Введение
0.1 Предварительные сведения и обзор литературы
Напомним, что п-мерпим многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, го-мсоморфную n-мерному шару или n-мсрному нолушару. Множество точек п-мерного многообразия А/, не имеющих окрестности, гомеоморфпой n-мсрному шару, называется краем и обозначается через дМ. В настоящей работе рассматриваются трехмерные многообразия, являющиеся прямыми произведениями замкнутых ориентируемых поверхностей на отрезок. Такие многообразия называются утолщенными поверхностями и являются самыми простыми трехмерными многообразиями после сферы S3. Узлом в многообразии М называется простая замкнутая кривая К во внутренности Int М.
Пусть К С F х / и К' с F' х I — два узла в утолщенных поверхностях. Они называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм пар h: (F х /,К) —> (F1 х 1,К'), что h(F х {0}) — F' х {()}. Напомним, что гомеоморфизмом пар li: (M,N) —> (M’,N') называется такой гомеоморфизм /г. М -» М', что h(N) = N'.
На множестве всех узлов в утолщенных поверхностях вводятся 4 типа преобразований, так называемых редукций. Каждая их этих редукций либо упрощает узел, либо разбивает его па два болсс простых. Набор конкретных редукций определен в разделе 1.1. Как правило, интерес представляют редукции, процесс применения которых к произвольному узлу в утолщенной поверхности конечен, а результат однозначно определяется исходным узлом. Несколько примеров редукций, не обладающих
Глава 1. Узлы в утолщенных поверхностях

Рассмотрим случай, когда к (Г х РК) применяется нетривиальная редукция типа 4. В результате получаем две пары (Г х I. К) и (£г х 1,К2). Так как узел К либо тривиален, либо получается из узла К вырезанием локального узла, то неравенство ДТ7’ х I, К) < в(Р х /, К) следует из нетривиальное™ примененной редукции. Следовательно р(Р х 7, К1) < ср(Рх1, К). Для второй пары (52 х 7, /Д) справедливы соотношения б'(52 х 7,/Д) У в(Р х 7,77) и д(5'2) Г о{Р). причем одновременные равенсгва достигаются только в случае, когда редукция типа 4 тривиальна. Следовательно Пусть пары (7д х 7. 7Д), (Р> х 7, /Д) получаются из пары (Г х 7, К) в результате редукции типа 3 вдоль пары непараллельных колец. Из определения редукции типа 3 следует, что д{Р) — д(Р) + д(Ро) — 1- Так как кольца, задающие редукцию, непараллельны, то (Тц),.7(2) > 1-Следовательно (/Д) < у(Д). что и влечет справедливость леммы.

Лемма 1.4. Пусть пары (Д х /./б') и (Г2 х 1,К"), где Т2 двумерный тор, получаются из пары (Г х 7, К) в результате нетривиальной редукции типа 3 вдоль пары параллельных колец. Тогда (р(Р х РК1) < (р{Р х 7, К) и ДТ2 х /, 77") < х I, 77).
Доказательство. Пусть Ль До С Д х I — пара параллельных колец, задающая нетривиальную редукцию типа 3. и пусть Т = А х [1,2] — утолщенное кольцо, ограничиваемое парой Ль До. Рассмотрим сначала случай, когда у(Р) > 1. Одно из требуемых неравенств <д(Т2 х 7, К") < <р(Р х 1.К) выполняется, так как д(Т2) < д(Р).
Выберем систему контрольных колец С С 7 х /. реализующую вес узла К. В силу леммы 1.1 можно считать, что пересечение С, ПТ

хотя бы одно контрольное кольцо пересекается с Т. Допустим, что в Т найдется сквозная потоса, не пересекающая узла К. Тогда дуга К ПТ содержит локальный узел, который лежит в (Р х 7, К), но не лежит в (Д х РК'). Поэтому з(Р х 7,К') < я(Р х РК). Следовательно р(Р х 7, К') < ДР х 7, К).
Предположим теперь, что узел К пересекает все сквозные по юсы в Т. Пусть С,п — первое кольцо упорядоченного набора С. которое имеет