Топологические аспекты надстроечных слоений

• Автор: Чубаров, Георгий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 Надстроечные слоения

1 1 Слоения со связностью Эресмана

111 Эквивалентные подходы к слоению

112 Связность Эресмана

1 2 Эквивалентные подходы к надстроечному слоению

12 1 Определение надстроечных слоений

12 2 Эквивалентная конструкция надстроечного слоения

1 3 Различные характеризации надстроечных слоений

13 1 Характеризация в классе двуслосний

13 2 Характеризация с помощью связности Эресмана
13 3 Характеризация в классе вполне геодезических слоений
1 4 Критерий изоморфности надстроечных слоений
14 1 Доказательство критерия изоморфности надстроечных сло-
ений в категории слоений
14 2 Следствия из критерия изоморфности
2 Графики надстроечных слоений
2 1 График слоения
2 11 Группа голономии слоя
2 12 Определение графика
2 2 Хаусдорфовость графика надстроечноего слоения
2 2 1 Интерпретация групп голономии

2.2.2 Критерий хаусдорфовости графиков надстроечных слоений .
2.3 Надстроечные слоения с нехаусдорфовыми графиками
2.3.1 Допустимые для надстройки поверхности
2.3.2 Надстроечные слоения на ориентируемых поверхностях
2.3.3 Надстроечные слоения на неориентируемых поверхностях .
3 Топологическое пространство надстроечных слоений
3.1 Типичность хаусдорфовости графика
3.1.1 Подпространство надстроечных слоений
3.1.2 Типичность хаусдорфовости графика в пространстве одномерных надстроечных слоений
3.2 Структурная устойчивость надстроечного слоения
ч 3.2.1 Пространство представлений
3.2.2 Пространство слоений
3.2.3 Вспомогательные утверждения
3.2.4 Критерий структурной устойчивости
3.2.5 Следствия из критерия структурной устойчивости
3.2.6 Структурная устойчивость и хаусдорфовость графика
4 Обобщённые надстроечные слоения
4.1 Строение обобщённых надстроечных слоений
4.1.1 Понятие обобщённого надстроечного слоения
4.1.2 Канонические двуслоения, накрытые произведением
4.1.3 Каноническое обобщённое надстроечное слоение
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Одним из способов построения слоения является предложенный Хефлигером [56] в 1962 году, алгоритм надстройки (suspension). Слоения, которые можно построить с помощью алгоритма надстройки, мы называем надстроечными.
Надстроечные слоения изучались Тёрстоном и Хиршем [60] с точки зрения слоёных расслоений. В теории динамических систем важную роль играет вариант надстройки [35], с помощью которого строятся специальные потоки над диффеоморфизмами. Надстройка использовалась для построения примеров слоений с «экзотическими» свойствами. Так Данжуа (см. например [38], §7) посредством надстройки сконструировал поток класса С1 на двумерном торе, определяющий одномерное слоение с исключительным минимальным множеством.
Блюменталь и Хебда [45] ввели понятие связности Эресмана для слоений как естественное обобщение понятия связности для расслоений. Слоениям со связностью Эресмана посвящены работы Волака, Шурыгина, Жуковой, Малахальцева и других. Надстроечные слоения образуют подкласс слоений с интегрируемой связностью Эресмана.
Как известно, на многообразии М с надстроечным слоением J- существует риманова метрика д, относительно которой (М, J7) — вполне геодезическое слоение, то есть каждый его слой — вполне геодезическое подмногообразие риманова многообразия (М,д).
Вполне геодезическим слоениям на римановых многообразиях посвящены работы Карьера, Жиса [55], Джонсона [61], Блюменталя и Хебды [46], Кейрнса, [49] и других.
Понятие группоида голономии слоения введено Эресманом в 1955 году. Позднее Винкельнкемпером [76] была предложена эквивалентная конструкция, названная им графиком слоения.
График G'(Jr) гладкого слоения Т коразмерности q на п мерном многообразии М несёт в себе информацию о росткововых группах голономии слоения (М, 1г) и является линейно связным, вообще говоря нехаусдорфововым, (2п — q)-
Доказательство. Если (М, Д) = 5из(Т, В, р), то в силу конструкции надстроечного слоения Д каждый его слой накрывает базу В. Поэтому любой путь /г(в), в £ [0,1], лежащий в В, можно поднять в любую точку х £ р~1(Ь), и поднятый путь /г будет целиком лежать в слое Ь(х) £ Д. Следовательно, распределение ТД является связностью Эресмана для субмерсии р : М —> В со связными слоями, изоморфными Т.
Обратное. Предположим, что (М, Д) — такое слоение, что ТД — связность Эресмана для некоторой субмерсии р : М —> В со связными слоями. Рассмотрим универсальное накрытие / : М —> М. Накрытие / и слоения Д м Д1 = {р_1(Ь) | Ь £ Б} индуцируют на М пару слоений (Р, ^г), где = /*-Е, Д2 = /*.Г‘. Докажем, что ТЕ1! является связностью Эресмана для слоения Д2.
Пусть (а, 0) любая пара кривых с общим началом в точке х. где а С Ь £ — горизонтальная кривая, а, (р С. Ь2 € Д2 — вертикальная кривая. Так как распределение Ш :=ТД является связностью Эресмана для субмерсии р : М -ч> В, а значит и для слоения Д1, то для допустимой пары кривых (/ о ф/ о 0)1 где / о а € Д, / о (р £ Д1 существует вертикально-горизонтальная гомотопия Н : I х I —> М с базой (/ о ф / о <д).
Зафиксируем £ £ / и рассмотрим путь щ Обозначим через ф путь
в М с началом в точке <р(£), накрывающий путь ф. Положим Н^, в) := ф(з), для любого (И й) £ I х /. Нетрудно проверить, что Н является вертикальногоризонтальной гомотопией с базой (а,(р).
Согласно теореме Касивабары [63], если на односвязном многообразии М задана пара слоений (Я, Д2) таких, что ТД — связность Эресмана для слоения Д2, то М совпадает с произведением М х М2, произвольных слоёв М и М2 слоений Р и Д2, соответственно. Опираясь на Предложения 1.3.2, получаем нужное утверждение. □
Замечание 1.3.1. В Предложении 1.3.3 слоение (М,Д) образовано максимальными интегральными многообразиями распределения ОЛ.
В качестве приложения Предложения 1.3.3, получено следующее утверждение, указывающее достаточные условия для того, чтобы гладкое слоение (М,Д)