Объемы неевклидовых многогранников, обладающих нетривиальной симметрией

• Автор: Абросимов, Николай Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 100 с. : ил.

1 Объемы неевклидовых многогранников с симметриями

1.1 Предварительные сведения

1.2 Сферические октаэдры с симметриями

1.2.1 Объем сферического октаэдра, обладающего тптт-симметрией

1.2.2 Объем сферического октаэдра, обладающего 2 | т-симметрией

1.3 Сферические гексаэдры с симметриями

1.3.1 Объем сферического гексаэдра, обладающего ттт-симметрией

2 Проблема Зейделя об объеме неевклидового тетраэдра

2.1 Постановка проблемы

2.2 Усиленная проблема Зейделя

2.2.1 Сферическая геометрия

2.2.2 Гиперболическая геометрия

2.3 Классическая проблема Зейделя
2.4 Проблема Зейделя для симметричного тетраэдра
2.5 Примеры
3 Инвариант Черна—Саймонса для конических многообразий
3.1 Предварительные сведения
3.2 Тригонометрические тождества и их следствия
3.3 Определение и основные свойства обобщенной функции
Черна—Саймонса и инварианта Черна—Саймонса
3.4 Инварианты Черна—Саймонса для конических многообразий над зацеплением Уайтхеда
3.5 Примеры

Вычисление объема многогранника — это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. В основном это связано с тем, что объем фундаментального многогранника является одним из основных инвариантов трехмерного многообразия.
Вероятно, первый результат в данном направлении принадлежит Тартальи (ТаЛа§Па, 1499-1557), который нашел объем евклидова тетраэдра. В настоящее время этот результат известен как формула Кэли— Менгера.
■Теорема 1 (ТАРТАЛЬЯ, 1546). Пусть Т — тетраэдр в евклидовом пространстве с длинами ребер дц, 1 < г < ^ < 4. Тогда объем V = У(Т) задается формулой
0 1 1 1
1 0 4г 4з
1 4г 0 4з
1 41 4г 0
1 41 42 4з
Заметим, что в приведенном выше соотношении объем является корнем квадратного уравнения, коэффициенты которого являются много-

На рис. 2.4 эти перестановки отвечают отражениям в медианах большого треугольника. Фактор-пространство указанного треугольника по действию модулярной группы представляет собой пространство модулей. Это орбифолд, который является треугольником (на рис. 2.4 он выделен штриховкой и обозначен буквой I) с одной удаленной стороной и двумя присоединенными сторонами. Заметим, что все точки выбранного нами треугольника / удовлетворяют неравенствам А < В < С. В результате мы получили взаимно однозначное соответствие между точками пространства модулей и классами конгруэнтности идеальных гиперболических тетраэдров.
Рис. 2.5. Пространство модулей I = {(А, В) •. А > О, В > А,тг > А + 2В}
Начиная с этого места, мы предпочитаем работать только с пространством модулей. Для удобства рассмотрим ортогональную проекцию данного множества на плоскость ОАВ. Приходим к изображенной на рис. 2.5 картине. Тем самым мы получили некоторую естественную параметризацию пространства модулей. Роль параметров теперь будут играть координаты А, В.
При выполнении указанных ниже естественных геометрических усло-