О некоторых кардинальнозначных инвариантах непрерывных отображений

• Автор: Ушаков, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 133 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
§0. Предварительные сведения
§1. Аддиционная проблема для отображений
1. Основные определения и результаты
2. Доказательства
§2. Сепарабельные отображения метризуемых
пространств
1. Определение сепарабельного отображения
2. Сепарабельные и финально компактные отображения.
Свойство Суслина для отображений
3. Послойно сепарабельные отображения
4. Примеры сепарабельных отображений
§3. Слабо сепарабельные отображения
1. Недостатки старого определения
2. Новое определение
§4. Кардинальнозначные инварианты бикомпактных
отображений
1. Характер и псевдохарактер для отображений
2. Бикомпактные над точкой отображения
3. Теснота и секвенциальность отображений
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Одной из основных задач общей топологии является выделение и исследование топологических инвариантов - свойств пространств, сохраняющихся при гомеоморфизмах. Они позволяют дать классификацию и изучить внутреннее строение топологических пространств. При этом особенно большую роль играют кардинальнозначные инварианты, поскольку они наиболее созвучны теоретико-множественной природе общей топологии. С помощью кардинальнозначных инвариантов выделяются важнейшие классы пространств: бикомпакты, финально компактные пространства, пространства со счетной базой и так далее. Кардинальнозначные инварианты широко используются основными методами исследования топологических пространств: методом покрытий, методом спектров, методом отображений. Наконец, кардинальнозначные инварианты часто являются объектами глубоких теорем, выражающих строение и свойства тех или иных пространств.
В последнее время многие общетопологические понятия и факты были обобщены со случая пространств на случай непрерывных отображений. При этом пространство понимается как простейшее непрерывное отображение этого пространства в одноточечное пространство. В частности, для отображений определены аналоги некоторых кардинальнозначных характеристик пространств. Так, к числу фундаментальных понятий теории непрерывных отображений относятся понятия характера, веса, сетевого веса отображения. Они занимают центральное место во многих утверждениях - достаточно сослаться на доказанную Б.А.Пасынковым теорему о вложении тихоновского отображения в проектирование частичного произведения со слоями-отрезками. По мере

развития послойной общей топологии растет число таких утверждений, и пополняется список кардиналънозначных инвариантов отображений, обобщающих соответствующие характеристики пространств.
Настоящая диссертация посвящена изучению взаимосвязи между уже известными и новыми, определяемыми в этой работе, кардинальнозначными инвариантами отображений. Большая часть из полученных результатов распространяет на отображения известные утверждения, касающиеся пространств, что свидетельствует о возможности постепенного превращения группы разрозненных кардинальнозначных инвариантов непрерывных отображений в единую систему.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации. Все необходимые определения и факты, относящиеся к теории непрерывных отображений, взяты в основном из работ [17], [19] и собраны в §0. Этот вспомогательный параграф содержит также используемые в работе стандартные обозначения. Основная часть диссертации состоит из четырех параграфов.'
В §1 даны достаточные условия совпадения веса (/—функционального веса) и сетевого веса непрерывного отображения. Доказанные здесь результаты позволяют решить проблему, аналогичную аддиционной< проблеме для пространств.
Формулировка аддиционной проблемы восходит к мемуару П.С. Александрова и П.С. Урысона ”Бикомпактные топологические пространства”. Изначально она звучала следующим образом: "Возможно ли представить неметризуемый бикомпакт в виде суммы двух пространств, каждое из которых есть пространство со счетной базой?” Отрицатель-

Л = Д(/, {gа : а £ А}) непрерывно и является морфизмом / в р, то есть / = р о А. Кроме того, если 7га есть короткая проекция ЧТП Р на ЭЧТП Ра, то (так как Л = Д{/а : а £ Ч})
(Аа = Д(/, да)) = пао ,а £ А.
В работе [17] доказано следующее утверждение:
(0.5.) Для длинной проекции р : Р —► Y частичного топологического произведения Р = P(Y, {Za}, {Ï7a}; а £ А) выполнено неравенство:
w(p) < max{|A|,sup{tr(Za) : а £ Л}}.
Если все слои Za, а £ А, являются Т{—, i = 0,1, 2, функционально хаусдорфовыми, регулярными пространствами, то проекция р является соответственно Т~, i = 0,1,2. функционально хаусдорфовым, регулярным отображением
Если все слои ZQ! а £ А, вполне регулярны, то проекция р также вполне регулярна и
W(p) < max{j4|,sup{u'(Za) : а £ .4}}.
Если все слои Za, а £ А, бикомпактны, то и проекция р бикомпактна.
Далее в диссертации под отображением понимается только непрерывное отображение пространств.