Скобочные структуры в теории узлов

• Автор: Мантуров, Василий Олегович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 144 с.

Оглавление
0. Введение

0.1. Методы диссертации

0.2. Научная новизна

0.3. Структура и объем диссертации

0.4. Благодарности

0.5. Основные результаты

0.6. Публикации

0.7. Апробация работы

1. Атомы и узлы

1.1. Основные определения

1.2. Теорема об атомах и узлах
1.3. Кодирование узлов (^-диаграммами
1.4. Полином Джонса и теорема Мурасуги
1.5. Сингулярные узлы и инварианты конечного порядка
1.5.1. Основные определения и классические теоремы
1.5.2. Обобщение кодировки ^-диаграммами на сингулярные узлы
2. Длинные зацепления и скобочные структуры
2.1. Полугруппа длинных зацеплений
2.2. Плоские схемы длинных зацеплений
2.2.1. Обобщенные графы
2.3. Способы заданий полугрупп посредством
образующих и соотношений
2.4. Основные полугруппы, встречающиеся в
дальнейшем
2.4.1. Полугруппы Б, Б, Б', Б'
2.4.2. Длинные ^-диаграммы
2.4.3. Построение связных плоских схем длинных зацеплений по меченым длинным Ф-диаграммам

2.5. Конструкция
2.5.1. Примитивные плоские схемы
2.5.2. Отображение ф
2.5.3. О соотношениях в полугруппах Б' и Б,
порождающих К
2.5.4. Длинные с?-диаграммы и связные плоские схемы
2.6. Преобразования в Б', инвариантные относительно ф'
2.7. Соотношения на Б1, не меняющие плоской схемы зацепления
2.8. Первое, второе и третье движения Рейдемейстера в терминах
правильных двухскобочных структур
2.8.1. Первое движение Рейдемейстера
2.8.2. Второе движение Рейдемейстера
2.8.3. Третье движение Рейдемейстера
2.8.4. Теорема о глобальных соотношениях
2.9. Упрощение соотношений У
3. Квазиторические косы
3.1. Основные конструкции теории кос
3.2. Квазиторические косы
3.3. Квазиторические косы и е?-диаграммы
4. Хордовые диаграммы и инвариантные тензоры
4.1. Введение. Алгебры хордовых и китайских диаграмм
4.1.1. Конструкция (частный случай общей конструкции Бар-
Натана)
4.2. Присоединенное представление алгебр Ли серий Д и во
4.2.1. Случай Д(п)
4.2.2. Случай бо(гг)
4.3. Случай присоединенного представления алгебры Ли з1(п) и
инварианты элементов алгебры хордовых диаграмм

Глава 0.
Введение
В последние годы особенную роль в современной геометрии и топологии стала играть теория узлов и их инвариантов.
На протяжении всей диссертации мы будем иметь дело лишь с ручными узлами и зацеплениями.
(Ручной) узел представляет собой образ гладкого вложения окружности в трехмерное пространство И3, который рассматривается с точностью до сохраняющего ориентацию гомеоморфизма пространства на себя. Каждый такой гомеоморфизм гомотопен тождественному отображению в классе гомеоморфизмов. В дальнейшем под узлом мы будем понимать ручной узел. Процесс изменения узла при такой гомотопии называется изотопией узла. Наряду с узлами рассматриваются также зацепления. Зацепление есть образ вложения несвязного объединения нескольких окружностей в И3. Аналогично определяется изотопия зацеплений. Образ каждой окружности представляет собой узел, называемый компонентой зацепления. Каждый узел является однокомпонентным зацеплением.
Иногда рассматривают ориентированные зацепления — зацепления, на каждой компоненте которых выбрана ориентация (направление обхода). При этом два ориентированных зацепления считаются изотопными, если существует изотопия, переводящая одно из них в другое и сохраняющая ориентацию каждой компоненты.
Как правило, узлы (а также зацепления) задаются посредством так называемых плоских диаграмм или плоских схем, представляющих собой набор замкнутых кривых, погруженных в плоскость с двойными точками трансверсального пересечения с указанием в точках пересечения какая часть кривой идет выше (образует переход), а какая — ниже (образует проход). Проекция без указания структуры проходов и переходов называется тенью зацепления.
Зеркальным образом зацепления называется зацепление, полученное из данного отражением в некоторой плоскости И2 С И3.

Рис. 1.20. Обход для трилистника.
каждое ребро графа инцидентно ровно одной окружности ровно один раз, а каждая вершина инцидентна два раза одной или двум различным окружностям. Если такая окружность оказалась единственной, то она и представляет собой обход. Если нет, то найдется вершина, инцидентная двум различным окружностям. Изменяя в этой вершине обход, мы объединим эти две окружности в одну, тем самым уменьшив их число. Продолжая так до тех пор, пока количество окружностей не станет равно единице, в итоге получим одну окружность, реализующую обход тени зацепления.
Такой обход порождает некоторую хордовую диаграмму. Действительно, этот обход задает окружность, проходящую по два раза все вершины диаграммы. Отмечая на окружности хордами прообразы пар прохождений одной и той же вершины, получаем хордовую диаграмму С. Проверим, что она будет й-диаграммой. Действительно, окружность делит плоскость на две непересекающиеся части. При прохождении в малой окрестности вершины две точки окружности соединены хордой диаграммы С. Мы делим хорды на два семейства: лежащие внутри окружности и лежащие вне ее. Каждой хорде диаграммы С будет соответствовать вершина плоской диаграммы Ь. При этом в некоторых вершинах обход будет производиться так, как показано на рис. 5а. В этом случае сопоставим этой хорде положительную метку. В противном случае поставим на хорде отрицательную метку.
Полученная меченая ^-диаграмма будет одной из ^-диаграмм, кодирующих диаграмму зацепления Ь. □
Легко видеть, что меченая Л-диаграмма полностью задает 5-структуру соответствующего атома. По ^-диаграмме, на которой отсутствуют метки, однозначно восстанавливается остов атома с Л-структурой. Это объясняется тем, что й-диаграмма строится лишь по тени зацепления, а метки указываются структурой проходов и переходов.
Верно и более сильное утверждение.