Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии

• Автор: Козлов, Иван Константинович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 193 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Основные определения

1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы

1.2 Примеры симплектичееких и пуассоновых многообразий

1.3 Невырожденные особенности

1.4 Круговые молекулы

1.5 Бигамильтоновы структуры

2 Классификация лагранжевых расслоений

2.1 Основные результаты главы

2.2 Инварианты лагранжевых расслоений

2.2.1 Пуассоново действие
2.2.2 Решетка в кокасательном расслоении
2.2.3 Препятствие к построению сечения
2.3 Доказательство теорем классификации
2.3.1 Аффинные расслоения
2.3.2 Эквивалентность аффинных и почти лагранжевых
расслоений
2.3.3 Доказательство теорем 9 и
2.3.4 Реализация инвариантов
2.4 Классификация лагранжевых расслоений над
двумерными поверхностями
2.4.1 Целочисленные аффинные многообразия
2.4.2 Фундаментальная группа бутылки Клейна

2.4.3 Полные целочисленные аффинные поверхности
2.4.4 Остальные инварианты
2.5 Примеры лагранжевых и почти лагранжевых
расслоений
2.6 Классификация при помощи теории пучков
3 Инвариантные слоения невырожденных бигамильтоновых структур
3.1 Основные результаты главы
3.2 Доказательство теоремы Жордана-Кронекера
3.2.1 Самосопряжённые операторы в симплектическом
пространстве
3.2.2 Доказательство теоремы Жордана-Кронекера.
Общий случай
3.2.3 Вещественная теорема Жордана-Кронекера
3.2.4 Единственность формы Жордана-Кронекера
3.3 Линейные инвариантные подпространства
3.4 Локальное устройство невырожденных
бигамильтоновых структур
3.5 Доказательство основных теорем
4 Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4)
4.1 Постановка задачи
4.2 Основные результаты главы
4.2.1 Случай х > 0,6 =
4.3 Доказательство основных утверждений
4.3.1 Критические точки ранга
4.3.2 Типы бифуркационных диаграмм. (Случай Ъ + 0)
4.3.3 Критические точки ранга
4.3.4 Доказательство теорем 42, 43 и
4.4 Классический случай Ковалевской (х = 0)

Рисунки к главе
Глава
Классификация лагранжевых расслоений
2.1 Основные результаты главы
Лагранжево расслоение — это локально тривиальное расслоение тх : (М2п,ш)—► Вп, тотальное пространство (М2п,и>) которого является сим-плектическим многообразием, и все слои которого являются лагранжевыми подмногообразиями этого симплектического многообразия.
В этом разделе описана классификация всех лагранжевых расслоений с компактными и связными слоями над двумерными поверхностями с точностью до послойного симплектоморфизма, тождественного на базе (т.е. с точностью до лагранжевой эквивалентности).
Ранее X. Дюистермаатом в работе [40] были введены инварианты, полностью определяющие лаграпжевы расслоения — решетка на базе лагранжева расслоения и лагранжев класс Черна. Эти инварианты достаточно сложны для вычисления, тем не менее К. Н. Мишачёву, используя результаты, полученные Дюистермаатом, в работе [49] удалось классифицировать все лагранжевы расслоения над ориентируемыми двумерными поверхностями. При этом Мишачёв показал, что среди двумерных поверхностей только двумерный тор и бутылка Клейна могут быть базой лагранжева расслоения.
В главе 2 диссертации классифицированы все лагранжевы расслоения над бутылкой Клейна (см. теоремы 13 и 14), и тем самым полностью решена задача классификации лагранжевых расслоений над двумерными поверхно-