Теория морса минимальных сетей

• Автор: Карпунин, Григорий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 165 с. : ил

Оглавление
Введение
1. Актуальность темы
2. Краткое содержание диссертации
3. Основные результаты диссертации
1. Сети в метрических пространствах
1. Основные определения
1.1. Сети, параметризующие графы, длина сети
1.2. Графы с границей, сети с границей
1.3. Тип сети с границей, минимальные параметрические сети . ;
1.4. Операции редукции..,расщепления
1.5. Компоненты вырождения. Приведенные сети
2. Геометрические деревья
2.1. Определение множества геометрических деревьев С
2.2. Кодировки сцеплениями
2.3. Частичный порядок на множестве
2.4. Перечисление геометрических деревьев
3. Конфигурационное пространство Т всех регулярных сетей с данной границей
3.1. Построение пространства Т и функции I
3.2. Стратификация пространства Т
3.3. Примеры
2. Комбинаторная теория Морса
1. Общая концепция построения теории Морса
2. Классический случаи
3. Симплициальный случай
4. Комбинаторный подход к общему случаю
4.1. К-топологическое пространство /С
4.2. Изменение множества уровня К<с

4.3. Понятие критического значения
4.4. Стратификация пространства К
4.5. Понятие критической точки
4.6. Комбинаторный потенциал точки из К
4.7. Индексы критических значений и равенство Морса
4.8. Неравенства Морса
4.9. Комбинаторная функция Морса
5. Теория Морса минимальных сетей
5.1. Пространство Т как к-топологическое пространство
5.2. Критические точки и критические значения функции I
5.3. Комбинаторные и геометрические расщепления сетей
5.4. Комплекс мощных расщеплений сети
5.5. Критические подмножества функции I и равенство
Морса
5.6. Пространства Т{к) СТ
5.7. Основная формула
3. Приложения
1. Минимальные сети в нормированных пространствах. Общие результаты
1.1. Некоторые факты из выпуклого анализа
1.2. Общий критерий минимальности параметрической
сети
1.3. Критерий минимальности параметрической сети с
топологией дерева
2. Минимальные сети на римановых многообразиях. Общие
результаты
2.1. Топологические графы
2.2. Параметрические сети
2.3. Абсолютно и локально минимальные сети
3. Минимальные сети в евклидовом пространстве Ш.К
3.1. Локально минимальные сети как регулярные минимальные параметрические сети
3.2. Единственность минимальных параметрических сетей
3.3. Случай плоскости R2
3.4. Задача об универсальной границе
4. Минимальные сети на полных односвязных многообразиях
W неположительной секционной кривизны

4.1. Экстремальные параметрические сети на многообразии
4.2. Локально минимальные сети на многообразии как
регулярные экстремальные параметрические сети
4.3. Геодезические деформации сетей на многообразии
4.4. Геодезические сети на многообразии УУ как параметрические сети в метрическом пространстве IV
4.5. Минимальные параметрические сети на многообразии ГУ
4.6. Типичные границы на многообразии УУ
4.7. Оценки количества локально минимальных сетей с
данной границей на многообразии УУ
5. Минимальные сети на манхэттенской плоскости 'Н
5.1. Манхэттенская плоскость
5.2. Формулировка задачи
5.3. Комбинаторные локальные минимумы
5.4. Локальное устройство минимальной параметрической сети топологии звезда
5.5. Мощные расщепления минимальных параметрических сетей некоторых типов
5.6. Комбинаторная морсовость функции I для случаев
3, 4, 5 граничных точек
5.7. Оценки количества локальных минимумов для случаев 3, 4 и 5 граничных точек
5.8. Некоторые примеры для случая 6 граничных точек
Список литературы
Список работ автора по теме диссертации
Сети в метрических пространствах

Заметим, что никакое множество из остальных множеств [/у и V) кодировки сцеплениями не содержится в множестве Покажем, что в дереве Є2 имеются усы с тем же самым набором граничных вершин іь га. В самом деле, найдем в дереве й2 ребро е2, соответствующее разбиению (И;, У;). Рассмотрим ветку, инцидентную ребру е2 и содержащую граничные вершины с номерами из [/,. Эта ветка не содержит внутренних ребер, поскольку, если бы она содержала какое-нибудь внутреннее ребро е'2 с соответствующим разбиением (£/,/, У;/), то тогда одно из множеств [/,/ ИЛИ Ці строго содержалось бы в множестве [/;.
Таким образом, дерево С2 имеет усы такого же вида как и у дерева Поэтому, если й] И С2 неизоморфны, ТО деревья И Сг2, полученные ИЗ деревьев О] И С2 редукцией ПО ребрам С] и е2 соответственно, также неизоморфны. Далее находим усы в дереве См и действуем по схеме, приведенной выше. Проделав к редукций, мы из дерева бі и дерева 02 получим одно и то же дерево С?о Є б(о), что противоречит неизоморфности начальных деревьев (?і и й2. □
Резюмируя все вышесказанное, можно сделать следующий вывод.
Утверждение 1.1. Кодировка сцепленилми устанавливает взаимнооднозначное соответствие между наборами сцепленных разбиений множества {1
Замечание. Кодировка сцеплениями позволяет сравнивать два внутренних ребра еі и е2, принадлежащих геометрическим деревьям С и С?2 соответственно. Будем говорить, что два внутренних ребра е Є Е(йі) и ег Є Е(в2) одинаковы (равны, эквивалентны и т.п.), если определяемые ими элементы (ї/і, Уі) и (1)2, Уг) из кодировок сцеплениями деревьев С?1 и (Т2 равны. Аналогичным образом, внутренние ребра сетей можно сравнивать посредством сравнения соответствующих ребер их параметризующих геометрических деревьев.
2.3. Частичный порядок на множестве Я
Определим отношение < частичного порядка на множестве б следующим образом. По определению & < С, если и только если дерево С получено из дерева с помощью последовательных операций расщепления подвижных вершин. Дерево С назовем потомком дерева в свою очередь, дерево й будем называть родителем (предком) для дерева С.