Множества диффеоморфизмов гладких многообразий, обладающих свойствами отслеживания

• Автор: Осипов, Алексей Валерианович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 132 с.

Содержание
1 Введение.

2 Неплотность орбитального свойства отслеживания относительно (Д-топологии.

2.1 Схема доказательства основного результата

2.2 Динамические свойства косых произведений

2.3 Основная лемма

2.4 Сведение; доказательства, теоремы 1' к двум случаям, разбор случая (А1)

2.-5 Начало разбора случая (А2) вспомогательные леммы

2.6 Сведение; случая (А2) к лемме

2.7 Доказательство леммы

2.7.1 Пункт (6.с) основные обозначения

2.7.2 Пункт (6.(;) основные леммы
2.7.3 Пункт (6.с) завершение доказательства
2.7.4 Доказательство остальных пунктов леммы 6 .
3 Периодические свойства отслеживания и П-устойчивость.
3.1 № с ЫрРсгБЬ
3.2 1ПГ,1 (РегЭП) С ПЯ
3.3 ЕлрРегЭЬ с ОА
4 Слабые предельные свойства отслеживания диф-

феоморфизмов двумерных многообразий
4.1 Некоторые свойства диффеоморфизмов, обладающих слабыми предельными свойствами отслеживания
4.2 Структура пеблуждатотдего множества в случае выполнения ^НлпБР
4.3 Формулировка и доказательство теоремы

1 Введение.
Диссертация посвящена изучению структуры некоторых множеств диффеоморфизмов гладких многообразий, связанных е так называемыми свойствами отслеживания псевдотраекторий. Наибольший интерес представляют вопросы о плотности (типичности) таких множеств и о характеризации этих множеств и их внутренностей в терминах теории структурной устойчивости.
В настоящее время теория свойств отслеживания является достаточно хорошо разработанным разделом теории динамических систем. Ее современное состояние достаточно полно отражено в монографиях |21, 18|. Данная теория изучает условия, при которых вблизи любой приближенной траектории некоторой динамической системы находится некоторая истинная. Первые результаты в этом направлении были получены Д.В. Аносовым |1| и Р. Боуэном |10|. В работе рассматриваются в основном дискретные динамические системы, т.е. каскады, порожденные диффеоморфизмами гладких замкнутых многообразий. Грубо говоря, наличие некоторого свойства отслеживания означает, что вблизи любой достаточно точной приближенной траектории находится некоторая истинная. Так как термины ’’вблизи” и ’’приближенная траектория” можно понимать по-разному, можно определить несколько свойств отслеживания. Целью данной работы является изучение множеств диффеоморфизмов, обладающих некоторыми свойствами отслеживания.
лу заментаттия 2, осли число 5' достаточно мало, то произвольному диффеоморфизму И є N(3', іф) соответствует мягкое косое произведение (7, диффеоморфизмы фы которого (см. определение 13) попадают в окрестность АТ(д,дШо). где символ и>о определяется в условии теоремы 4. В ходе дсжалательства те!орс!мы 1 мы выберем число 5 достаточно малым, т.е., тем самым, выберем и число 3'. По теореме 5 у любого диффеоморфизма А1 Є УУ есть локально максимальное инвариантное множество Д. Значит, для доказательства, теоремы 1, достаточно доказать лить, что для сужения С| д по выполняется О8Р. А так как свойство ОЭР сохраняется при сопряжении, для доказательства теоремы 1 достаточно доказать литтть следующее утверждение!:
Теорема Т. Пусть О мягкое, косое произведение, соответствующее (в смысме замечания 2) некоторому диффеоморфизму И многообразия, М = 52 х 51, Кроме, того, пусть для, (7 выполняются условия теоремы, 4, и окрестности И'о(зо) и Иф(уі) достаточно малы.. Тогда для (7 не выполняется. ОБ Р.
2.3 Основная лемма.
Следующая лемма является основным ингредиентом для лаптей конструкции. Отта, доставляет достаточное условие! па псювдотра-екторию, при котором любая орбитальтто отслеживающая сю траектория лежит па устойчивом (или неустойчивом) многообразии