Функция спектрального сдвига в пределе большой константы связи

• Автор: Пушницкий, Александр Борисович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
1 Введение
1 Постановка задачи
2 Обозначения. Предварительные сведения
3 Функция спектрального сдвига
4 Основной результат работы
5 Оператор Шредингера
6 Оценки для ФСС
7 ФСС в пределе большой константы связи
2 Представление для ФСС
8 Доказательство основной теоремы
9 Величины Л/± как функции от А, К, а
10 Величины Л/± как функции от Но, в, X
11 Представление (4.6): относительно ядерные возмущения
3 Вспомогательные факты об операторе Шредингера
12 Определение. Свойство доминации
13 Спектральные оценки и асимптотики
4 Интегральные оценки для ФСС
14 Абстрактные результаты
15 Приложения
5 ФСС в пределе большой константы связи
16 Считающие функции в пределе большой константы связи
17 Поточечная асимптотика
18 Интегральная асимптотика
19 Заключение

Глава
Введение
1 Постановка задачи
1.1 Модель Рассмотрим оператор Шредингера Но — —А + и(х) в Т2(®)> (і > 1, где II — некоторый периодический потенциал. Оператор Но есть гамильтониан электрона, находящегося в поле решетки некоторого «Тмерного кристалла (без учета взаимодействия данного электрона с остальными свободными электронами кристалла — “одноэлектронное приближение”). Как хорошо известно, оператор Но имеет зонный спектр.
Далее, пусть в кристалл введена некоторая примесь, локализованная в конечной области пространства. Предположим, что количество атомов примеси можно каким-то образом менять. Модельным гамильтонианом для такой задачи может служить оператор Н{а) = Но — аУ, где V = К(т) - потенциал, создаваемый одним атомом примеси, а а > 0 — параметр (константа связи), который можно интерпретировать как количество атомов примеси. Непрерывный спектр оператора Н(а) совпадает со спектром Н0. В отличие от Но, оператор Н(а) может иметь дискретный спектр в лакунах непрерывного. При изменении константы связи а дискретный спектр оператора Н(а) изменяется.
1.2 Поток собственных значений Предположим для простоты, что потенциал V неотрицателен: V > 0. Тогда все собственные значения А„(а) оператора Н(а) являются невозрастающими функциями параметра а. Пусть (А_,А+) — лакуна в спектре оператора Н0. При непрерывном росте а собственные значения А„(а), находящиеся в лакуне (А_, А_|_), двигаются справа налево (т.е. в сторону отрицательных энергий) и в конце концов “исчезают” на левом крае А_ лакуны. В то же время, на правом крае А+ при росте а “рождаются” собственные значения. Таким образом, мы приходим к следующей картине: при росте а имеется поток собственных значений справа налево; этот поток “течет” в лакунах, “просачиваясь” через непрерывный

спектр.
Этот поток подчиняется некоторому асимптотическому закону сохранения. Именно, для точки Л из лакуны спектра Н0 обозначим через N+(X,a) количество собственных значений (с учетом кратностей) оператора H(t), проходящих через Л при монотонном росте параметра t от 0 до а. Оказывается, что при достаточно быстром убывании V(x) на бесконечности главный член асимптотики величины N+(X, а) при а —> оо не зависит от А:
iV+(A, с*) ~ ad/2(2n)~duJd f Vd/2(x)dx, а-ї оо, (1.1)
где ojd — объем единичного d-мерного шара.
1.3 ФСС Настоящая работа посвящена функции спектрального сдвига (ФСС) — важному объекту спектральной теории, введенному физиком-теоретиком И. М. Лифшицем в 1952 г. и впоследствии изученному М. Г. Крейном. ФСС Ç(A) для пары операторов Но, Н(а) является естественным аналогом “считающей функции” N+(X,a) на непрерывном спектре. Основной результат работы (см. параграф 4) — некоторое новое формульное представление для ФСС. Из этого представления, в частности, вытекают некоторые интегральные оценки для ФСС, а также асимптотическое соотношение вида (1.1) для ФСС на непрерывном спектре.
2 Обозначения. Предварительные сведения
2.1 Общие обозначения Обозначения N, Z, R, С имеют стандартный смысл; Z+ = {0}UN, Qd = (0, l)d С Rd, С+ = {z Є С І Imz > 0}. Стандартное скалярное произведение и норма в Cd обозначаются через (, ) и |-|; 1 — единичная dxd-матрица. Через measÆ обозначается мера Лебега борелевского множества S С К; uJd есть объем единичного шара в Rd. Характеристическая функция множества М обозначается через хм; &(х) — Х(о,оо)(х), ж Є К. Количество элементов множества М обозначается через фМ. Интеграл без указания пределов интегрирования подразумевает интегрирование по Rd. Формулы и утверждения с двойными индексами (± и т) следует читать как пары независимых утверждений, в одном из которых все индексы принимают верхние значения, а в другом — нижние. Через С, с обозначаются различные оценочные постоянные; константа, впервые появляющаяся в формуле с номером (i.j), обозначается через C,.j. В утверждениях, включающих в себя оценки сверху, мы предполагаем конечными все величины (нормы и интегралы) в правых частях, не оговаривая этого особо в формулировках. Для вещественнозначной функции / мы полагаем f± (|/| ± /)/2.
2.2 Функции Пусть Çl Ç — открытое множество. Пространства Со°(П), Lp(Q), LPtiос(П) определяются обычным образом. Н1(С1) — пространство Соболева и Hq(ü) — замыкание Со°(В) в ДХ(П). Пространство LlogL(Q)

Доказательство немедленно следует из теоремы 9.10 и из соотношений
В правой части крайние сомножители компактны, а средний сомножитель сильно сходится к нулю при Д —> со. Следовательно, оператор в правой части сходится к нулю по операторной норме. □
11 Представление (4.6): относительно ядерные
возмущения
11.1 Общие соображения В настоящем параграфе с помощью несложных аппроксимационных соображений получаются обобщения основной теоремы
4.1. Именно, представление (4.6) доказывается для операторов О, которые вместо условия (3 & ©2 удовлетворяют некоторым условиям относительной ядерности. Ниже всюду Но — самосопряженный полуограниченный снизу оператор в Я, оператор С удовлетворяет условию (2.10) и для любого ограниченного интервала <5 £ К имеет место включение (10.11). Обозначим для краткости
Сл:= 0.
Наша дальнейшая цель — накладывая дополнительные ограничения на С, перейти к пределу при Л оо в равенстве (11.1) и получить таким образом представление (4.6) для операторов Н0, (3. Переход к пределу в левой части (11.1) основан на следующем простом утверждении.
операторы, спектры которых лежат, в интервале (а,Ъ). Пусть / е С'1((а,Ь),Ш), /'(х) > 0 при всех х € (а, Ъ). Предположим, что
К{ А + »0; Но, в я) = К{ А + *0; Я0,О), Д > |А|,
А{ + г0; Но, <3д) -> -А(А + г0; Я0, (3) в ©оо(/С) при Я —» оо. Проверим последнее соотношение. Имеем:
4(А + гО; Но, (3) — .А(А + гО; Но, <3я)
= [<3(|Я0| + /Г1/2] ±ЯЯо(К(-Д,Д)) [(С(|Я0|+/)-1/2)*].
Н± := Я±(Я0,<3), Д0(я) := Д(г,Я0), Г(г) := Г(г;Я0,С?)
В силу основной теоремы 4.1 и условия (10.11),
п.в. А € К.
(11.1)
Лемма 11.1 Пусть (а, 6) С М и Но, Н±, {Я± }я>о — самосопряженные в Д
/(Я±)-/(Я0) е ©Х(Я), ||/(я1Л))-/(Я±)||б1 -> о, Доо.
(11.2)
(11.3)