К теории интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна : Метод преобразования монодромии

• Автор: Алексеев, Георгий Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 472 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Уравнения Эйнштейна
Точные решения в теории гравитации
Интегрируемость двумерных редукции уравнений Эйнштейна
От гипотез интегрируемости к эффективным методам решения
О содержании диссертации
ЧАСТЬ I УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА ПРИ НАЛИЧИИ ДВУМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННО - ВРЕМЕННЫХ СИММЕТРИЙ
Глава 1 Геометрия пространства-времени с двумерной симметрией
§ 1.1. Основные обозначения и определения
§ 1.2. Локальные системы координат
§ 1.3. Метрика, связность и кривизна
§ 1.4. Формализм Ньюмена - Пенроуза для пространств с двумерной абелевой группой изометрий
§ 1.5. Класс метрик Льюиса - Папапетру
Глава 2 Классические безмассовые поля как источники гравитационного поля в пространстве-времени с двумерной симметрией
§ 2.1. Электромагнитное поле
§ 2.2. Двухкомпонентное безмассовое спинорное поле Вейля
§ 2.3. Скалярное поле с минимальной связью
§ 2.4. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением
состояния р = е и потенциальным движением
§ 2.5. Полный тензор энергии - импульса гравитационно взаимодействующих безмассовых полей
Глава 3 Уравнения Эйнштейна для пространства - времени с двумерной
симметрией
§ 3.1. Уравнения связи для конформного фактора
§ 3.2. Автодуальная форма уравнений Эйнштейна
§ 3.3. Уравнения связи для недиагональных компонент метрики шац
§ 3.4. Динамические уравнения для компонент метрики Ьаь
§ 3.5. Замкнутая система динамических уравнений
§ 3.6. Динамические уравнения в терминах внешних форм

СОДЕРЖАНИЕ

§ 3.7. Динамические уравнения в комплексной 3 х 3-матричной
форме
§ 3.8. Модификация 3x3- матричных уравнений в координатах {£,77}
§ 3.9. Доказательство эквивалентности 3x3 - матричных уравнений системе динамических уравнений
ЧАСТЬ II МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОНОДРОМИИ
Глава 1 Представление нулевой кривизны для динамических уравнений
и эквивалентная спектральная задача
§ 1.1. Построение ассоциированной линейной системы
§ 1.2. Эквивалентность дополнительных условий существованию эрмитова интеграла ассоциированной линейной системы
§ 1.3. Эквивалентная 3x3- матричная спектральная задача
§ 1.4. Пространство локальных решений и нормировочные
условия
Глава 2 Структура фундаментального решения Ф(£, 77, ш) ассоциированной линейной системы
§ 2.1. Глобальные аналитические свойства Ф(£,77, гу)
§ 2.2. Структура разреза на плоскости ю
§ 2.3. Голоморфная ветвь Ф(£,?7, ги) и ее свойства
§ 2.4. Локальные аналитические свойства Ф(£, 77, го) в точках
составного разреза Ь = Ь+ иЬ
Глава 3 Прямая задача преобразования монодромии: определение данных монодромии для произвольного локального решения
§ 3.1. Определение данных монодромии
§ 3.2. Данные монодромии для системы (II. 1.16)
§ 3.3. Данные монодромии для уравнений обобщенных Эрнста
Глава 4 Линейное сингулярное интегральное уравнение как эквивалентная форма полевых уравнений
§ 4.1. Эквивалентная задача сопряжения для аналитических
функций
§ 4.2. Вывод основного сингулярного интегрального уравнения
§ 4.3. Структура сингулярного интегрального уравнения
§ 4.4. О корректности основного интегрального уравнения
СОДЕРЖАНИЕ
§ 4.5. Вычисление комплексных потенциалов и компонент метрики
§ 4.6. Эквивалентность основного интегрального уравнения обобщенным уравнениям Эрнста
Глава 5 Уравнения Фредгольма эквивалентные уравнениям Эрнста. Обратная задача преобразования монодромии: существование и единственность решений
§ 5.1. ’’Достаточность” интегральных уравнений
§ 5.2. Регуляризация основного интегрального уравнения: уравнения Фредгольма, эквивалентные обобщенным
уравнениям Эрнста
§ 5.3. Уравнения Фредгольма, эквивалентные электровакуумным уравнениям Эрнста
§ 5.4. Существование и единственность локальных решений
для произвольных данных монодромии
ЧАСТЬ III ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Глава 1 Начальные и краевые условия и различные типы граничных
задач
§ 1.1. Задача Гурса
§ 1.2. Задача Коши
§ 1.3. Краевая задача в эллиптическом случае
Глава 2 Точная линеаризация граничных задач граничных для уравнений Эрнста
§ 2.1. Задача Гурса
§ 2.2. Задача Коши
§ 2.3. Краевая задача в эллиптическом случае
Глава 3 Граничные задачи для полей с линеаризующимися динамическими уравнениями
§ 3.1. Волны Эйнштейна - Розена и статические решения Вейля
§ 3.2. Интегральные представления общих решений уравнений
Лапласа и Эйлера - Пуассона - Дарбу
§ 3.3. Общее решение спектральной задачи и вычисление данных монодромии для вакуумных полей с диагональной
метрикой
§ 3.4. Общее решение задачи Гурса для вакуумных полей с диагональной метрикой в терминах преобразования монодромии
ВВЕДЕНИЕ

генерации решений и предсказания свойств строящихся решений до выполнения (как правило, весьма громоздких) конкретных вычислений.
Далее, этот подход, благодаря полному учету всех степеней свободы полей, впервые открыл возможности для конструктивного рассмотрения разнообразных граничных задач для редуцированных (с учетом предполагаемых пространственно - временных симметрий) уравнений Эйнштейна или, эквивалентно, - уравнений Эрнста. К таким задачам относятся (в локальной постановке) в гиперболическом случае - задача Гурса (характеристическая задача Коши) и задача Коши, а в эллиптическом случае - различные граничные задачи. Для всех этих задач было показано [106,143,148,149], что знание полного набора граничных данных для каждой из этих задач позволяет (в принципе) однозначно вычислить отвечающие им данные мо-нодромии , которые, в силу своей независимости от пространственно - временных координат, являются и данными монодромии для искомого решения рассматриваемой граничной задачи. При этом, вычисление этих данных требует решения чисто линейной задачи - интегрирования уравнений спектральной задачи, ограниченных на начальную кривую. Коэффициенты же этой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений полностью определяются лишь граничными данными. По найденным данным монодромии локальное решение рассматриваемой граничной задачи находится, по крайней мере - в принципе, посредством решения основного интегрального уравнения (сингулярного или эквивалентного ему квази -Фредгольмова), что представляет собой так же линейную задачу. Таким образом, метод преобразования монодромии приводит к точной линеаризации различных граничных задач для рассматриваемых полевых уравнений. Поскольку каждый из этих шагов достаточно трудно выполнить в явном виде, то не исключено, что полезную роль при решении локальных граничных задач может сыграть общее локальное решение интегральных уравнений, построенное в [144] в виде функциональных рядов.
Кроме того, для достаточно широких классов данных монодромии, выделяемых наложением некоторых простых алгебраических связей и заданием остающихся произвольными (после решения этих связей) функций в виде рациональных функций спектрального параметра, построенные интегральные уравнения допускают явное решение в элементарных функциях. (Заметим, что этот класс решений включает, очевидно, все солитонные решения, построенные на фоне плоского пространства Минковского или любого другого фонового решения с рациональными данными монодромии.) Получающиеся в результате обширные (многопараметрические) семейства точных решений полевых уравнений содержат значительное количество известных решений, имеющих ясную физическую интерпретацию. Это позволяет строить разнообразные обобщения этих решений и всевозможные нелинейные суперпозиции этих полей, среди которых, очевидно, может содержаться и много физически интересных случаев. Примеры таких точных решений и их