Асимптотический анализ и осреднение на сочленениях сингулярно вырождающихся областей

• Автор: Слуцкий, Андрей Семенович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 315 с. : ил.

§1. Актуальность темы и научная новизна полученных результатов

§2. Основное содержание работы

ГЛАВА 1. Асимптотический анализ произвольной пространственной системы тонких искривленных стержней

§1. Тонкий слабоискривленный стержень. Неравенство Корна

§2. Тонкий слабоискривленный стержень. Асимптотика решения

§3. Система тонких искривленных стержней. Неравенство Корна

§4. Система тонких искривленных стержней. Формальная асимптотика

§5. Система тонких искривленных стержней. Обоснование асимптотики

ГЛАВА 2. Асимптотический анализ системы уравнений Навье-Стокса в области с тонкими каналами

§1. Течение вязкой несжимаемой жидкости в области с тонкими каналами.

Постановка задачи и описание результатов

§2. Система уравнений Навье-Стокса в модельных областях
§3. Теорема существования и интегральные характеристики решения системы уравнений Навье-Стокса в области с тонкими каналами
ГЛАВА 3. Осреднение дифференциальных операторов в периодических областях различных предельных размерностей
§1. Разветвляющаяся периодичность: осреднение задачи Дирихле для
эллиптического уравнения
§2. Осреднение эллиптических уравнений при сгущающейся перфорации .. 168 §3. Осреднение дифференциального оператора на мелкой периодической криволинейной сетке
§4. Построение дискретных моделей сплошной среды методом осреднения дифференциальных операторов
ГЛАВА 4. Сингулярно возмущенные задачи с особенностями
§1. Асимптотика решения вырождающихся эллиптических уравнений
при малом возмущении коэффициентов или границы
§2. Осреднение вырождающегося эллиптического уравнения
§3. Асимптотическое разложение решения уравнения с быстро
осциллирующими коэффициентами в области с малой полостью
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

§1 АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И НАУЧНАЯ НОВИЗНА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
При решении многих практических вопросов, и прежде всего при расчете упругих конструкций, необходимо математическое исследование задач о сочленении сингулярно вырождающихся областей, т.е. областей, одно или несколько измерений которых существенно меньше остальных. Такое исследование подразумевает асимптотический анализ решений краевых задач в областях, зависящих от малого параметра е и стягивающихся при s —У 0 к предельному множеству («скелету»), представимому в виде объединения множеств различных размерностей.
Явное вхождение естественного малого параметра делает задачи о сингулярно вырождающихся областях (деформация стержней, пластин, оболочек, течение жидкости в тонких каналах, и т.д.) весьма привлекательными для математического исследования. Однако, хотя история решения задач о тонких телах как об объектах меньшей размерности насчитывает более двух веков, математическая теория описывающая сочленение таких областей стала разрабатываться лишь сравнительно недавно. Основное развитие получило направление, связанное с изучением упругих тел. Математическому описанию упругих полей на сочленениях тел с различными предельными размерностями (multi-structures) посвящены монографии [135], [157], [153], статьи [137], [152], [140], [165], [154], [147] и др. Упомянем также работы, в которых исследуются задачи осреднения решетчатых и рамных конструкций [5], [105], [170], [139], [23] и др. Несмотря на то, что задачи о сочленении сингулярно вырождающихся областей стали привлекать повышенное внимание исследователей многие задачи все еще остаются либо не изученными в надлежащей общности либо вовсе не рассмотренными.
В диссертационной работе приводятся результаты исследований задач теории упругости и гидромеханики на сочленении областей различных предельных размерностей, а также задач теории осреднения в ситуации, когда исходный оператор и оператор предельной задачи действуют в пространстве функций различного числа