Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений на фракталах

• Автор: Дигурова, Алла Мисирикоевна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Владикавказ
• Количество страниц: 105 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава1 Краевые задачи для обыкновенных уравнений на фракталах
1. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой,
обладающей фрактальной геометрией
2. Построение разностных схем второго порядка точности для стационарного уравнения на фракталах
3. Сходимость и точность разностных схем
4. Схема повышенного порядка точности для третьей краевой задачи
5. Сходимость и точность разностной схемы
Глава 2 Дифференциальные уравнения в частных производных
на фракталах
1. Постановка краевых задач, априорные оценки
2. Метод Роте
3. Построение разностных схем для нестационарного уравнения на фракталах

4. Сходимость и точность разностной схемы
5. Априорная оценка. Краевая задача с граничным условием третьего рода
6. Сходимость и точность разностной схемы краевой задачи с граничным условием третьего рода
Глава 3 Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка в цилиндрической и сферической системах координат
1. Постановка начально-краевых задач, априорные оценки
2. Построение разностных схем для обобщенного уравнения переноса дробного порядка
3. Устойчивость и сходимость разностной схемы
4. Третья краевая задача, априорная оценка
5. Построение разностных схем
Литература

Введение
В последние годы для описания структуры неупорядоченных сред и протекающих в них процессов широко используется теория фракталов-множеств с дробной пространственной размерностью [20],[21],[28],[35], [52]. Примерами неупорядоченных сред являются пористые тела. При этом, согласно [29], фракталами могут быть поровое пространство, скелет породы, поверхность скелета породы. В случае, когда трещины и сплошные пористые блоки представляются однородными взаимопроникающими континуумами, обычно используется модель Баренблатта--Желтова [4]-[6]. Между тем в реальных трещиноватых породах для характерных размеров, сравнимых с размерами блоков, трещины образуют систему, которую нельзя считать однородной [20]. В работе [28] рассмотрено уравнение многофазной фильтрации в случае, когда поровое пространство представляет собой фрактал с размерностью Хаус-дорфа - Безиковича df, погруженный в сплошную среду с размерностью ( > /, е? = 2,3). В случае, когда df = (I система трещин превращается в сплошную среду и обычно используется вышеназванная модель Баренблатта- Желтова.
В работе [28] также получено уравнение движения примеси в потоке однородной жидкости.
(0.1)

(1.27)
(1.28)

О-1Ух,0 о ° п
— доуодощ, Ум = о.
В дальнейшем нам потребуется следующая Лемма
Пусть г - решение задачи (1.21), а и - решение задачи (1.27) (т.е. той же задачи при с?г- = 0, г — 1, 2, ...ТУ — 1, до = 0). Тогда имеет место оценка
Доказательство леммы приведено в [35].
Для решения задачи (1.27) получим оценку в равномерной метрике. Обозначим через ,2а;. Тогда
4с = \У + Ч1с < 2||и||с.
Н1+а
ид+1

Откуда
(1.29)