Численное моделирование решений уравнения Якоби на геодезической со случайной кривизной

• Автор: Артюшкова, Марина Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с. : ил.

1 Введение

1.1 Актуальность исследований

1.2 Цели и задачи работы

1.3 Защищаемые положения

1.4 Научная новизна

1.5 Теоретическая и практическая ценность

1.6 Апробация работы

1.7 Содержание работы

2 Теория Ферстенберга для уравнения Якоби

2.1 Постановка задачи

2.2 Модель Я. Б. Зельдовича

2.3 Уравнение Якоби па геодезической
2.4 Случайная кривизна
2.5 Мультипликативное решение уравнения Якоби
2.6 Теория Ферстенберга для произведения независимых случайных матриц
2.7 Задачи численного эксперимента
3 Численное моделирование решений уравнения Якоби и статистических моментов
3.1 Постановка задачи
3.2 Численный эксперимент
3.3 Генераторы случайных чисел
3.4 Результаты численного исследования
3.4.1 Типичная реализация поля Якоби
3.4.2 Среднее и высшие статистические моменты модуля поля Якоби

3.4.3 Среднее поле Якоби
3.5 Обсуждение результатов главы
4 Численное моделирование распределения сопряженных точек на геодезической со случайной кривизной
4.1 Постановка задачи
4.2 Численный эксперимент
4.3 Результаты численного исследования
4.4 Обсуждение результатов главы
5 Моделирование мелкомасштабного динамо уравнением Якоби
5.1 История исследования проблемы мелкомасштабного динамо
5.2 Уравнение Якоби и уравнение индукции
5.3 Модель с обновлением. Результаты численного исследования
5.4 Модели с эффектом памяти. Результаты численного исследования
5.5 Обсуждение результатов главы
Заключение
Список литературы

1 Введение
1.1 Актуальность исследований
Еще в 1964 году Я. Б. Зельдович обратил внимание на то, что влияние небольших неоднородностей плотности во Вселенной, которые присутствуют в ней, несмотря на ее исключительную степень однородности и изотропии, не сводится к флуктуациям сети изотропных геодезических и некоторому шуму, вносимому таким образом в космологические тесты [Зельдович 1964]. Оказывается, что возникает небольшое систематическое искажение космологических тестов, которые делают Вселенную, кривизна пространственного сечения которой в среднем равна нулю, в определенной степени похожей на открытую космологическую модель. Удается ввести понятие эффективной кривизны, которая оказывается отрицательной и пропорциональной величине неоднородностей. Во Вселенной с неоднородностями наблюдатель, измеряющий кривизну пространственного сечения путем сопоставления угловых размеров и расстояния до стандартного объекта, получит вместо осредненного значения кривизны, равного нулю, ее эффективное значение, которое окажется отрицательным.
Несмотря на большой аналитический прогресс в изучении эффекта Я. Б. Зельдовича, представляется необходимым поддержать эти результаты данными численного моделирования. Во-первых, аналитические результаты представляют собой некоторые утверждения об асимптотическом поведении решений без оценки скорости выхода на ассимптотику. Во-вторых, теория в полной мере использует модель флуктуаций как случайного поля. Эта модель хорошо зарекомендовала себя в физике, но все же она не всегда может адекватно применяться к конкретным физическим задачам; в контексте космологии па эту ограниченность указывал Я. Б. Зельдович. Поскольку аналитические результаты о поведении решений уравнения Якоби [Ламбурт и др. 2003а]

Нетривиальность этого утверждения состоит в том, что в сопряженных точках, возникающих рано или поздно на каждой геодезической, знак поля Якоби меняется и вклады различных реализаций в < у > начинают не складываться, а вычитаться. Поведение < у > несомненно отличается от поведения < у >, и, тем не менее, перемежаемость имеет место и в случае отсутствия модуля у.
Поведение средних значений < ур > (р=1...3) для 5 • 105 показано на рис. 6, который похож на соответствующий рис. 3. Экспоненциальный рост моментов < ур >, как и моментов < ур > продолжается лишь на конечном интервале х. В таблице 2 приведены точки начала замедления Кр и скорости роста 7', посчитанные как тангенсы углов наклона касательных в точках замедления к'р моментов < ур >, для различных объемов выборки N.
Аналитические исследования роста среднего поля Якоби [Ламбурт и др. 2003а] дают значение 71 ~ 0,288. Мы получили 71 » 0,377. Очевидно экспериментальное значение 71 больше теоретического. Разница между значениями равна 0,009, и она много меньше самих значений, поэтому значения оказываются близкими. Это небольшое различие, вероятно, связано с погрешностью, вносимой генератором случайных чисел.