Дискретный спектр в лакунах непрерывного при возмущении дифференциального оператора второго порядка неотрицательным оператором высокого порядка

• Автор: Слоущ, Владимир Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 75 с.

Введение
1. Пусть .4 — самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор (ДО) второго порядка в ПД сі > 1. Ниже рассматриваются вопросы, связанные с изучением дискретного спектра, который появляется в лакунах спектра оператора .4 при возмущении неотрицательным ДО с убывающими коэффициентами. Знак возмущения оказывает существенное влияние как на характер обнаруживаемых эффектов, так и на выбор технических средств. Случай неположительных или незнакоопределенных возмущений изучен в некоторых отношениях полнее (см., например, [12], [7]). Но тогда заведомо нарушается дискретность спектра в лакуне уже при возмущениях второго порядка. В случае неотрицательных возмущений содержательный анализ дискретного спектра возможен для возмущающих ДО сколь угодно высокого порядка. Подобные задачи представляют принципиальный и (отчасти) прикладной интерес. Исследованию некоторых задач такого типа посвящена предложенная работа.
2. В пионерской работе [10] в качестве невозмущенного оператора рассматривался оператор Шредннгера
,4 = -Д+р(т), (0.1)
для которого существует «интегрированная плотность состояний». В частности, допускался периодическим оператор (0.1) Предполагалось, что спектр сг(,4) оператора .4 имеет внутреннюю лакуну (а, /3). Оператор .4 возмущался неотрицательным непрерывным потенциалом И/2(:г), убывающим степенным образом:
Основным, предметом исследования являлась считающая функция іУ (Л, .4. И*, г), А Є (а, /3), т > 0, — число собственных значений оператора В (і) = .4 + іIV2, прошедших через точку «наблюдения» А при увеличении і от'0 до т. Разумеется, эти собственные значения могут двигаться только слева направо. Была получена асимптотика
где с1 — размерность. Асимптотический коэффициент Со был вычислен в терминах интегрированной плотности состояний оператора А.
Более трудным является вопрос об асимптотике считающей функции, когда точка наблюдения выводится на левый край лакуны; тогда по определению
В статье [16] асимптотика этой величины изучалась для случая периодического р{х). Для функции Аг(а..4,И’, т) была получена асимптотика вида (0.2). Однако теперь потребовалось ограничение у > 2, которое лежит в существе дела. При этом асимптотический коэффициент Со был вычислен в [16] в терминах разложения Флоке оператора .4.
В работе [13] в качестве невозмущенного оператора рассматривался периодический эллиптический оператор второго порядка
Точка наблюдения снова предполагается совпадающей с краем лакуны. Основное внимание в [13] уделено неположительным возмущениям, по некоторые результаты получены и для неотрицательных. Именно, исследовался вопрос о конечности спектра оператора ВЩ в лакуне (а, /3) и получены некоторые оценки величины Д:(а.4, !К т).
іУ(А, .4, ІТ, т) ~ С0та/ т —> оо,
(0.2)
(0.3)
А — — сііуу(л') gracl +р(х).
(0.4)
В работе [11], рассматривались дифференциальные возмущения. Невозмущенный оператор имел вид
А = — divg(x) grad.
В статье [11] рассматривалась достаточно гладкая эллиптическая матрица-функция д(х), такая что оператор .4 имеет интегрированную плотность состояний. Последнее заведомо выполнено, если матрица д — периодическая. Возмущение в [11] также представляло собой ДО и имело вид
И'*ТГ = - div/(.r) grad; (0.5)
здесь /(.г) — неотрицательная матрица-функция, имеющая асимптотику
./Ф?’) ~ C'ccN_'ö(-r). |.г| у со, С'со > 0, 7 > 0. (0.6)
Таким образом, матрица / жестко согласовывалась с матрицей д. В [11] была получена асимптотика вида (0.2). При этом асимптотический коэффициент С0 был вычислен в терминах оператора .4.
В статьях [10], [11]. было существенно, что А — внутренняя точка лакуны.
3.Настоящая работа посвящена исследованию дискретного спектра, возникающего в лакунах спектра эллиптического ДО второго порядка, при возмущении неотрицательным ДО, вообще говоря, более высокого порядка. В некоторых
случаях, однако, наши результаты остаются содержательными и для возмуще-
ний потенциалом или ДО второго порядка.
Переходим к описанию работы. При этом ссылки на точные результаты (на теоремы) предполагают обращение при чтении к основному тексту работы. В диссертации четыре главы. В главах 1, 2 получены основные результаты абстрактного характера, которые являются опорными при исследовании ДО. Пусть .4 — самосопряженный полуограннченный снизу оператор в гильбертовом пространстве "Н, спектр которого содержит лакуну (a,ß). Пусть

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия (1.1.6). (2.1.3) и (2.1.4). Тогда
ДЧ(А,Д,ТТ) — Дг;((Л)), 5Г/(Л,.4ЛТ) = (Л(А)), А €(«,/?). (2.1.7)
Доказательство этой теоремы будет приведено в §2 настоящей главы.
Если спектр оператора (А) имеет асимптотику порядка у (т. е. «ЗДД А)) = в((А)) < °°)> то величина ЛГ(А,.4,П’, 3) в условиях теоремы 2.1.1 тоже имеет асимптотику, т. е. существует конечный предел
Нш Гг'Л'(А,.4.НД), е(а,0). (2.1.8)
А—Тоо
2.1.2. Асимптотика на левом краю лакуны. Обсудим возможность распространения асимптотики (2.1.8) на левый край лакуны. Для этого распространим обозначения (2.1.1) на случаи А = о. Предположим, что выполнены условия теоремы 1.1.11. Тогда справедлива оценка (1.1.19). С другой стороны, в силу монотонности Лг(-.4, И’. /), / > 0, выполнено неравенство
А(А,.4,И'Д) < А(а..4,И’Д), А 6 (а,/?), * > 0. (2.1.9)
Из (1.1.19) и (2.1.9) следует
Предложение 2.1.2. Пусть выполнены условия (1.1.6), (1.1.7) и (1.1.18). Тогда величина Лг(а,.4,И'Л) конечна при, любом > 0, и верны неравенства
ДДА.ЛЛЕ) < ДДо.ЛЛГ) < Д7(), УА 6 (а,/3),
(2.1.10)
<МА, -4, IV) < 8Г1(а. АЛЕ) < 5С1(Хо), УА е (а, /3).
Из теоремы 2.1.1 и предложения 2.1.2 вытекает
Следствие 2.1.3. Пусть выполнены условия (1.1.6), (1.1.18), (2.1.3) и (2.1.4). Тогда величин,а N [ос, АА¥Л) конечна при любом. I > 0, и верны неравенства
Д<у('(А)) < < Д9(хо), УАе(а,/3),
М(А)) < (а.ЛЛГ) < 5,(Хо), УА е (ау/3). (2'1Л1)
Если дополнительно имеет место Т-сходимость
(А) —> сь А —> а,