Кольцо когомологий и корреляционные функции в двумерной Лиувиллевской гравитации

• Автор: Берштейн, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 85 с.

Оглавление
Введение
1 Минимальная Лиувиллевская гравитация М(2,3)
1.1 Предварительные замечания
1.2 Относительный БРСТ комплекс
1.2.1 Теоремы Лиана-Иукермана
1.2.2 Рекуррентное построение базисных состояний
1.2.3 Операторы, действующие на пространстве относительных когомологий
1.3 Абсолютные когомологии
1.3.1 Размерности когомологий
1.3.2 Операторная алгебра
1.4 Явные формулы
2 Гомологии алгебр Ли
2.1 Предварительные замечания
2.2 Функтор двойственности
2.3 Обобщение. Бесконечномерные алгебры Ли
2.4 Примеры
2.5 Обобщение. Полубесконечные гомологии
2.6 Когомологии алгебры Вирасоро
2.7 Доказательство Теоремы 1.2.
3 Разные подходы к гравитации
3.1 Предварительные замечания

3.1.1 Лиувиллевская гравитация
3.1.2 Матричные модели
3.1.3 Струнное уравнение
3.2 Сравнение с топологической гравитацией
3.3 Вычисления для родов 1 и
4 Корреляционные функции в парафермионной теории
4.1 Парафермионная конформная теория поля
4.2 Задача про многочлены
4.3 Парафермионная теория Лиувилля
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена изучению некоторых математических вопросов, возникающих в конформной теории поля. Обсуждаются вопросы, связанные с двумя конкретными теориями: двумерной минимальной Лиувиллевской гравитацией и параферми-онной теорией Лиувилля.
Двумерная квантовая гравитация была введена в работе Полякова [57], в которой было показано, что при квантовании струны в размерности пространства-времени 7= 26 метрика на поверхности становится динамической вследствие конформной аномалии. Эта теория называется теорией Лиувилля. Под Лиувиллевской гравитацией (в подходе Давида—Дистлера—Каваи [26, 27]) понимается теория, функционал действия в которой является суммой действий трех теорий: материальной конформной теории поля, теории Лиувилля и духов
5 = 5м + вь +
так что суммарный центральный заряд всех трех теорий равен нулю:
сь + См + Сди = 0.
Минимальной Лиувиллевской гравитацией называется теория, в которой конформной теорией материи является минимальная модель [23]. За последние 10 лет был достигнут большой прогресс в изучении минимальной Лиувиллевской гравитации. Например, для простейших операторов были найдены трех и четырехточечные корреляционные функции и операторная алгебра [5, 2].
Известно, что в случае минимальной гравитации есть дополнительные физические состояния. Их можно найти используя метод БРСТ квантования. В этой процедуре физические состояния отождествляются с классами БРСТ когомологий. Оказывается, что существует бесконечно много дополнительных физических состояний
В этом предложении в качестве градуировки Нг(д, —) берется сумма градуировки комплекса К и гомологической градуировки (поэтому она может быть и отрицательной). Для случая, когда К является просто конечномерным представлением алгебры д, предложение 2.2.2 легко выводится из предложения 2.2.1 и утверждений в конце параграфа 2.1.
Доказательство. Существует естественное спаривание К®И{К) —> II. Если вычислить гомологии относительно д © д, то получится естественное спаривание
Я.(д, К) ® II.(д, Д(К)) -> Н.{д ® д, и).
Как д®д-модуль, (7 является индуцированным с тривиального модуля над подалгеброй д, вложенной в дфд диагонально х >-* (х, х). Из этого следует, что Я.(д ® д, II) = Н.(д, С), причем действие (гиг, ги2) 6 Н.(д (В д. С) на а € Я.(д, С) задано формулой (адх, ги2)а = гща + 'ш2а.
Требуемое в теореме спаривание строится как композиция:
II.{д, К) ® Н.{д, Б(К)) -1 Я.(д ® д, Я) Я0(д, С) = С.
Невырожденность достаточно проверить в случае свободного модуля II, что очевидно. Утверждение о согласованности следует из описания действия на Я,(д ® д, 11) в прошлом абзаце. □
Пусть теперь I) - подалгебра в д коразмерности <1. Пусть V — конечномерное представление д. К У[0] можно применять и функтор двойственности и функтор Д. По предложению 2.2.1, комплекс Д(У[0]) = У* ® Лгг(д*)[7г] и Д(У[0]) — V* ® Л1г(5*)[тг — Я]. Обозначим М. = Л<г(д/1)), тогда комплексы Д(У[0]) и Д(У[0]) ® АЛЩ гомотопны как комплексы фмодулей. Следовательно, из предложения 2.2.2 следует
Предложение 2.2.3. Пусть д,ф У,Л4 такие, как выше. Тогда существует невырожденное спаривание
(-, -): Нг{), V) ® Я_^(ф ДУ ® М) -»■ СИ.
Это спаривание согласовано с действием Я'((),С).
Понятно, что в двух крайних случаях I) = О и () = д это предложение сводится к предложению 2.2.1 и предложению 2.2.2 соответственно.