Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной

• Автор: Керефов, Марат Асланбиевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса 17 §1. Третья краевая задача. Априорная оценка в дифференциальной форме
§2. Априорная оценка в Ж22(0,1) в случае первой краевой задачи
§3. Случай незнакоопределенного оператора
§4. Нелокальные задачи для модифицированного уравнения
влагопереноса
Глава 2. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с
дробной по времени производной
§ 1. Метод разделения переменных для модифицированного уравнения
влагопереноса с дробной по времени производной
§2. Единственность решения первой краевой задачи
§3. Метод прямых для решения первой краевой задачи
3.1. Априорная оценка для системы разностных уравнений
3.2. Решение системы разностных уравнений, возникающих в методе прямых
§4. Априорная оценка для решения третьей краевой задачи
§5. Случай незнакоопределенного оператора
§6. Нелокальная краевая задача. Априорная оценка
§7. Метод прямых для решения третьей краевой задачи
Глава 3. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с
дробной по времени производной в главной части
§ 1. Первая краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка
1.1. Метод разделения переменных для обобщенного уравнения влагопереноса
1.2. Неоднородное уравнение влагопереноса
§2. Априорная оценка для решения первой краевой задачи
§3. Третья краевая задача. Априорная оценка
§4 Существование и единственность решения первой краевой задачи для
обобщенного уравнения влагопереноса
Литература

Введение
Многие вопросы, связанные с передачей тепла в гетерогенной среде [38], с переносом влаги в почво-грунтах [43], [56] приводят к модифицированному уравнению диффузии
где к - коэффициент влагопроводности, А - коэффициент пропорциональности Аллера. В настоящее время стало очевидным, что при решении многих задач в физике, биологии часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы, примерами которых могут служить полимерные материалы [7], сильно пористые среды. При решении таких задач возникла необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной [6], [16], [27]-[30], [45].
Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены ряд интересных работ [18]-[22], [44], [58].
В [46], [47] предложена физическая интерпретация дробной производной, не связанная с той или иной конкретной проблемой. Обобщение уравнений переноса можно проводить по-разному. В [46] дается обобщение потока (закон Фурье-Фика), вводя дробную производную по времени в виде
где £>“- оператор дробного интегрирования (при а< 0) и дробного дифференцирования (при а>0) порядка а с началом в точке а, определяемый как в [34] формулой

(ких + Аих1 )х + /(*,/),
(0.1)
(0.2)
а < 1,
О“ и = (и(х,г),
а - 0,
где [а]- целая часть числа а, [а < а < а + 1, Г(г)- гамма- функция Эйлера

доказывается аналогично и отсюда следует возможность почленного дифференцирования ряда (2.10) и применения обобщенного принципа суперпозиции, т.е. функция н(х.і), определяемая рядом (2.10), удовлетворяет уравнению (2.3). Таким образом, имеет место следующая
Теорема Если функция <р(х) непрерывна, имеет непрерывную производную 1-го порядка, и кусочно-непрерывную производную 2-го порядка и удовлетворяет условиям ср(0) = (р'{д) = <р{1) = <р'(1) = 0, то функция определяемая рядом
<ч.о=Ес1уу(-і)" у

к— «=05’
Г(п +1 - 5-а)
представляет непрерывную функцию при > 0, дифференцируемую нужное число раз и удовлетворяющую уравнению (2.3).
Единственность решения первой краевой задачи для уравнения (2.3) с нулевым начальным условием реализуем методом априорных оценок. Для чего умножим уравнение (2.3) скалярно на и:
(£“, и, и) = (ихх ,и) + (:ихх1, и), (2.12)

где (и, г) = uvdx, (и,и)-
II II2

Покажем, что ](0и,и)с1т> 0. Для функции одной переменной

равенство было доказано в [24].

Введем обозначение: Т = а{хр)Л
д |и(х, т)с1г
р* о (I -т)а
. в,тл(-а) д )и(х,г)с1т
Е(х,ф
к ЭГд (Г~т)
тогда