Оператор Максвелла в областях с негладкими границами

• Автор: Филонов, Николай Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 77 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Краткое содержание по главам
Список обозначений
Глава I. Предварительные сведения
1. Классы матричнозначных функций
2. Основные функциональные пространства
3. Оператор Максвелла
Глава II. Электрическая составляющая поля
1. Векторный анализ
2. Теоремы разложения и их следствия
3. Области типа цилиндра
Глава III. Магнитное поле в липшицевых областях
1. Эквивалентность "магнитного разложения” и существования К(д)
2. Построение оператора конормального продолжения
3. Свойство разделения
4. Контрпример
Глава IV. Магнитное поле в областях с экранами
1. Разложение без граничных условий
2. Оператор конормального продолжения
3. Точки типа (6)
Глава V. Самосопряженный оператор rot
1. Самосопряженная реализация оператора rot
2. Асимптотика спектра
3. Интегральное представление оператора S
4. Спектр оператора Т
5. Полуаддитивность снизу функций N±(X, О)
6. Случай куба. Оценка N(,Q) сверху
7. Случай куба. Оценка А(А,П) снизу
8. Спектр оператора iij(Xl)
Литература

ВВЕДЕНИЕ
1. В работе изучается оператор Максвелла, описывающий собственные электромагнитные колебания идеального резонатора. Предполагается, что резонатор заполнен слоистой анизотропной средой. Разрывный характер параметров среды затрудняет прямое теоретико-функциональное описание области определения соответствующего оператора. Такое описание, однако, существенно как в теоретическом, так и в прикладном отношении. В работах [БС1-6] предложена общая схема корректного определения оператора Максвелла. Эта схема основана на соображениях геометрии гильбертова пространства и не требует предположений о гладкости границы резонатора или параметров среды.
В той же серии работ исследовались главные особенности решений вблизи негладких точек границы. Применялся непрямой метод: в ряде случаев описание особенностей сводилось к подобному же вопросу для энергетических решений скалярных эллиптических уравнений второго порядка. При этом ставятся граничные условия Дирихле при описании электрической составляющей поля и Неймана - для магнитной. Такая редукция интересна сама по себе. Кроме того, важно, что особенности скалярных задач изучены довольно подробно. Это позволяет перенести соответствующие результаты на задачи об электромагнитных колебаниях.
Для электрических полей были получены полные результаты в резонаторах с липжицевой границей и резонаторах с экранами. Соответствующие теоремы для магнитных полей были обоснованы только для ’’областей с ребрами и вершинами”. Одной из главных целей настоящей диссертации является завершение исследований по этой схеме. Мы покажем, что в случае областей с экранами аналогичные результаты для магнитных полей имеют место, а в случае липцшцевых областей - нет (будет предъявлена область, где главные особенности магнитных полей не сводятся к градиентам решений задачи Неймана).
Обсуждается также самосопряженная реализация оператора rot. В работах [P2-4J предложено одно из возможных определений и проверена самосопряженность соответствующего оператора для некоторых классов областей. Мы уточним это определение и докажем, что получающийся оператор самосопряжен для любой области конечного объема. Более подробное изложение результатов удобнее перенести в конец введения.
ВВЕДЕНИЕ

2. Пусть fi - область в R3, и, v - электрическое и магнитное поля; по-
ложительные матрицы-функции е, ц задают диэлектрическую и магнитную проницаемости. Система уравнений Максвелла в области Л при отсутствии зарядов и токов выглядит следующим образом:
Мы будем рассматривать условия на границе дП, соответствующие идеальной проводимости:
где 7Г/ (соотв. 7*//) - касательная (соотв. нормальная) составляющая вектора / на дії. В случае ограниченной области ІЇ система (0.1) — (0.3) описывает электромагнитные колебания резонатора. В случае неограниченной Л - рассеяние электромагнитных волн на проводящем препятствии.
Сейчас мы для простоты будем считать, что компоненты матричнозначных функций е, р удовлетворяют условию Липшица в 0, а сами матрицы положительно определены в каждой точке. В ряде теорем достаточно делать более слабые предположения; позднее будут даны точные формулировки.
3. Уравнения (ОД) можно записать в виде
Действие выражения rot на и описывается посредством минимального, а на v - максимального оператора, порожденного дифференциальной операцией rot. При этом оператор (0.4) автоматически оказывается самосопряжен в ве-
Соленоидальные подпространства зависят от е, р и определяются как ортогональное дополнение к соответствующим градиентным. Сужение оператора
є dtu = rot і?, р dtv = — rot и
(0.1)
при условиях соленоидалыюсти
div(gr'tt) = 0, div(/xt?) = 0.
(0.2)
7г и = 0, 7 „(рп) = 0,
(0.3)
Поля и, V естественно считать элементами пространства Дг(Л, С3), точнее, Ьч с весом, определяемым матрицами г, р. Требование а, V € Т2(Л,С3) соответствует конечности энергии электромагнитного поля /й((ен,а) (fI,v,v))dx, где (., .) - скалярное произведение в С3.
(0.4)
совом Д2, и первое условие (0.3) выполнено. Далее вводятся разложения Вейля пространства Т2(Л, С3) на градиентное и соленоидальное подпространства.

ГЛАВА II
Лемма 2.7. Пусть її ограничена, є Є Мтиц(€і) и выполнено (2-4). Следующие априорные оценки имеют место одновременно:
1) ІМІІГ2 < 1| аіу(£г7уз)||, /(р Є Я2 ПН1;
2) ||«||йп < с2||и||у, Ум Є Я1 (г).
Нетрудно видеть, что наличие второй оценки эквивалентно замкнутости Я1(П,т) в (Н,£,т). Отсюда следует
Лемма 2.8. В условиях леммы 2.7 для того, чтобы Я1 (П, г) было замкнутым подпространством Я(П,£,т), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
МнсхИ аіу(єУ)||, Мір Є Я2 П Я1.
4. Обсудим свойства спектра оператора Ш1.
Лемма 2.9. Пусть О ограничена, є Є Мтиц(ЇІ) и выполнено (2-4). Тогда вложения Р(П,£,г) С 1<2(Н) и Ф(П, Є,т) С І2 (О) компактны.
Отсюда сразу вытекает (см. [БС7] или [И])
Следствие 2.10. В условиях предыдущей леммы спектр оператора Максвелла <т(5Ш) дискретен.
Из определения оператора 9Я видно, что спектр его веществен, <г(9К) С К., и симметричен относительно нуля,
*(Ж) = {±Ак}0, Ао.
Положим
Щі) = #{к : к < і}.
На основании теоремы 2.5 можно доказать следующий результат.
Теорема 2.11. Пусть П £ А или її Є <£. и є = р — I. Тогда
(0 — *3(1 + °(1))) *-»«>.
Замечание. Для гладких областей этот результат был установлен еще Вейлем [ИЛ], но распространить его даже на случай кусочно гладких границ долгое время не удавалось. В [БС6] это доказано для її Є А. На случай О Є <£ доказательство из [БС6] переносится без изменений, поэтому мы его опускаем.