Локализованные решения уравнений Навье-Стокса

• Автор: Шафаревич, Андрей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 311 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
ГЛАВА 1. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА.
§1. Постановка задачи и формулы геометрической асимптотики.
§2. Параметрикс задачи Коши
для линеаризованных уравнений Эйлера.
§3. Двойная асимптотика
разрешающего оператора задачи Коши
для линеаризованной системы Навье - Стокса.
§4. Асимптотика функции Грина системы Навье - Стокса при v —> 0.
§5. Локализованные решения, сосредоточенные в окрестности точки.
§6. Решения, локализованные в малой окрестности кривой.
§7. Решения, сосредоточенные вблизи двумерной поверхности.
Typeset by AmS-

ТІЕІХ

ГЛАВА 2. ВРЕМЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА.
§8. Асимптотические свойства параллельного переноса.
§9. Временная эволюция асимптотических решений,
локализованных вблизи кривой или поверхности. §10. Поведение при Ь -» оо
асимптотических решений, сосредоточенных в окрестности точки.
ГЛАВА 3. “МАЛЫЕ” ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ - СТОКСА.
§11. Малые решения
нелинейной системы Навье - Стокса,
сосредоточенные в окрестности поверхности.
§12. Локализованные асимптотики в задаче о ламинарном следе (стационарные решения, сосредоточенные вблизи кривой).
§13. Асимптотические свойства линеаризованных уравнений ламинарного следа.
§14. Нестационарные малые решения, локализованные вблизи кривой или точки.
ГЛАВА 4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ АСИМПТОТИКИ В ЗАДАЧАХ О ВИХРЯХ И ТАНГЕНЦИАЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ.
§15. Асимптотическое описание
сглаженных тангенциальных разрывов (решения,
быстро меняющиеся вблизи поверхности).
§16. Асимптотика стационарных решений уравнений Навье - Стокса, описывающих вытянутые вихри.
§17. Уравнения вытянутого вихря, заданные на графе Риба. Условия Кирхгофа, интегральные тождества и законы сохранения.
§18. Дополнительные условия на параметры и интеграл уравнений вихря и определение угла подкрутки.
§19. Радиально-симметричный вытянутый вихрь.
§20. Решения, сосредоточенные в окрестности точки, и топологические инварианты лиувиллевых слоений.
ПРИЛОЖЕНИЕ. Интегральные тождества для решений уравнений Навье - Стокса и поведение на бесконечности поля скоростей несжимаемой жидкости.
Список литературы.

параллельного переноса. По определению, этот вектор удовлетворяет равенству
V<¥> = П(р)(5 + = 0.
т.е.
+ .*)>Ф = *(*)Рі (1Л1)
где s(<) - скалярная функция. Кроме того, дифференцируя равенство (р, (р,Ф) = = (v=S Р) = (р. gjV3)-
Умножая (1.11) скалярно на р(<) и используя последнее равенство, находим

подставляя это выражение в (1.11), получаем уравнения параллельного переноса в виде
dw dV 2р, dV ч

Ясно, что А - оператор Коши этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, ограниченный на плоскость, ортогональную вектору к (которая под действием оператора Коши переходит в плоскость, ортогональную р).
Наконец, запишем оператор A(to,t) в локальном ортонормированием базисе сечений двумерного расслоения Л. Рассмотрим гладкие единичные векторы mi(i),m2(t), ортогональные между собой и вектору p(t), и удовлетворяющие условию (mi, m2) = 0. Такие векторы всегда существуют (хотя могут быть многозначными функциями на кривой х = X(t),p = p(t), если эта кривая замкнута); чтобы их построить, достаточно рассмотреть произвольный ортонормированный репер m,i(t), m°(t) в А, а затем повернуть его на угол
f (mj(r),m5(r))dr.
J tQ