Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шрёдингера

• Автор: Штеренберг, Роман Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 82 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1. Определение оператора. Основной результат
2. Разложение в прямой интеграл. Схема Томаса
3. Оценки для свободного оператора
4. Оценки для магнитпого потенциала
5. Доказательство теоремы 2.7 при д = 1, ц
6. Случай переменной скалярной метрики
7. Доказательство теоремы 1.5
Публикации по теме диссертации
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
1. Спектральный анализ периодических операторов математической физики имеет как общетеоретическое, так и прикладное значение. В основе этого анализа лежат разложения Флоке-Блоха, являющиеся аналогом (хотя и не полным) разложений Фурье. В сравнительно широких предположениях метод Флоке-Блоха показывает, что спектр периодического оператора имеет зонную структуру. При этом из общих соображений не следует, что не могут существовать "вырожденные" зоны, сводящиеся к точке. Эта точка должна была бы представлять собой собственное значение бесконечной кратности. Ясно, что наличие или отсутствие таких точек существенно отражается на выводах о физических свойствах рассматриваемой периодической структуры. Господствующая точка зрения состоит в том, что в достаточно "регулярных" случаях вырожденных зон быть не должно. Однако, строгое обоснование этой гипотезы в каждом конкретном случае представляет собой довольно сложную математическую задачу и требует использования довольно продвинутой математической техники. Более того, само представление о "регулярных" случаях достаточно размыто и ограничивается наличием контрпримеров. Эти контрпримеры связаны либо с недостаточной гладкостью коэффициентов, либо с другими особенностями в постановке вопроса. Например, известен гладкий эллиптический оператор четвертого порядка, имеющий вырожденную зону.
2. Операторы математической физики обычно имеют второй (или первый) порядок, что несколько смягчает остроту ситуации. Однако, и здесь известны контрпримеры, связанные с негладкостью коэффициентов (см., например, [1]). В то же время наличие определенных особенностей у коэффициентов вполне реалистично с точки зрения применений. Поэтому важно уметь исключать наличие вырожденных зон при возможно более широких предположениях на коэффициенты. Поскольку

доказательство отсутствия сингулярного непрерывного спектра представляет собой сравнительно простую задачу, отсутствие вырожденных зон фактически устанавливает абсолютную непрерывность спектра соответствующего оператора.
3. Настоящая работа посвящена исследованию абсолютной непрерывности спектра периодического двумерного оператора Шредингера при наличии метрики и электрического и магнитного потенциалов. При этом электрический потенциал может содержать "сингулярную" составляющую в виде заряда (распределения), сосредоточенного на периодической системе кривых. Потенциалы такого рода возникают, например, в теории фотонных кристаллов (см. (2]). Надо отметить, что эксперимент в ряде случаев не дает здесь возможности отличить очень узкие зоны от вырожденных. В настоящей работе показано (см. теорему 1.8 ниже) математическими средствами, что вырожденных зон в задачах такого типа быть не может.
4. Перейдем к обзору предшествующих результатов относительно абсолютной непрерывности спектра оператора Шредингера, причем не будем ограничиваться двумерным случаем. Рассмотрим оператор
(О - А(х))'д{х)(Г> - А(х)) + У(х), х е Г', ,1> 2. (В.1)
Здесь О = —(V; Т(х) — скалярный электрический потенциал, А(х) — векторный магнитный потенциал, Первый результат получен в известной работе Л. Томаса [3] в 1973 г. для оператора Шредингера
-Д + К(х) (В.2)

3°. При каждом Ач € [—Л, £] последовательность (/ц)}, з £ К, обра-зует ортонормированный базис в Ь2{12).
Предложение 2.5. Пусть при каком-либо среди функций {£)(А[)}
нет постоянных. Тогда спектр соответствующего оператора Ш(к2) абсолютно непрерывен.
Доказательство. Свойства 1°—3° из предложения 2.4 вместе с предположением об отсутствии постоянных £] совпадают с условиями теоремы ХШ.86 из [4]. В силу этой теоремы спектр оператора 9Н(А2) абсолютно непрерывен. •
Осталось найти способ проверки условия предложения 2.5. Пусть какая-либо из функций постоянна: £, (Аи) = £, А[ £ [—Ь, Ь. Тогда в силу аналитической альтернативы Фредгольма (см. [36, теоремы VII.1.10, УП.4.2]) число £ должно быть собственным значением оператора М(к, к2) при любом к] 6 С. Чтобы прийти здесь к противоречию, достаточно найти такое А£, при котором оператор М(к,к2) — £1 обратим. Суммируем все сказанное.
Предложение 2.6. Пусть выполнены условия теоремы 1.5. Пусть при всяком к2 £ [—Ь, Ь и всяком £ £ К найдется згшчение Ач — к {£, к2) € С, для которого оператор М(к,к2) — £1 ограниченно обратим. Тогда спектр оператора М(у. А, (1н. ?/) абсолютно непрерывен.
6. Вначале мы установим абсолютную непрерывность спектра оператора М для случая скалярной метрики д. Именно, пусть в (1.5) ,<7о(х) = 1, то есть выполнено
д{х) = и2(х)1.
(2.16)
Из (1.3)—(1.5) следует, что
ш(х + а;) = Цх), ^ = 1,2, х£К2,
(2.17)
причем
0 < ш0 < ы(х) < ич < 00, хей2.
(2.18)