Исследование краевых задач для дискретных моделей уравнения Больцмана

• Автор: Ильин, Олег Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Изучение устойчивости решений системы Карлемана

1 1 Устойчивость абсолютно максвелловских распределений

1 2 Система Карлемана как модель автоколебательной реакции в

химической кинетике

1 3 Решение стационарной системы Карлемана

14 Постановка задачи об устойчивости пространственнонеоднородных решений

1 5 Неустойчивые режимы

2 Численное исследование неустойчивых решений системы Карлемана

2 1 Сценарии перехода к хаосу в динамических системах
2 2 Сценарий перехода к хаосу в системе Карлемана
2 3 Показатели Ляпунова
3 Точные решения стационарной четырехскоростной системы Бродуэлла
3 1 О методах построения точных решений четырехскоростной
системы Бродуэлла
3 2 Построение решений с помощью усеченного ряда Пенлеве
3 3 Автомодельные решения модели Бродуэлла для газа с постоянной
плотностью
3 4 Автомодельные решения модели Бродуэлла для газа
непостоянной плотностью
3 5 Задачи об испарении и конденсации газа для модели Бродуэлла
3 6 Симметрии модели Бродуэлла и инвариантные решения
Заключение

Литература
Введение
Основным объектом изучения кинетической теории газов является система из большого числа частиц (молекул). Такие системы описываются методами статистической физики, то есть с помощью нестационарной функции распределения / в фазовом пространстве скоростей у и координат х. Эволюция функции распределения задается кинетическими уравнениями, которые в случае короткодействия представляются в следующей форме [ 1-8]:
где /(/,/) - квадратичный по функции распределения /(£,х, у) оператор, описывающий парные столкновения. Изучению математических свойств таких уравнений посвящена диссертационная работа.
Основным уравнением кинетической теории является уравнение Больцмана:
% + * % = ЬIЛ<Ша (“' ?) - №№1 (0.2)
где ю Е К3, п - единичный вектор, с1п - элемент площади единичной двумерной сферы 52, а. о(и,йп/и) сечение столкновения. Считается, что две частицы, сталкивающиеся при скоростях V, ю, после столкновения приобретают скорости у', ю а вектор п указывает направление относительной скорости после столкновения:
и' — V1 — ю' = ип, й = у — щ, и = |н|,
V1 — ~ (гТ + ги + ип), ги' = ~ [у + гу — ип).
Уравнение Больцмана является одним из сложнейших уравнений
математической физики благодаря нелинейной форме оператора столкновений. За десятки лет исследования уравения найдено всего лишь несколько точных решений |9|-|13|. Даже линеаризованное уравнение (0.2) неудобно для практического рассмотрения из-за многократного интегрирования. Поэтому для решения конкретных физических задач прибегают к различным упрощениям.
наблюдается замечательный эффект - перемежаемость. Под этим понятием подразумевается чередование во времени периодических и хаотических
режимов. Следует отметить, что перемежаемость часто наблюдается в
реальных турбулентных течениях. Это явление объясняют следующим образом. Вначале динамика протекает в окрестности несколько раз удвоенного
предельного цикла и кажется вполне регулярной. В действительности же происходит медленное накопление возмущений, которое в определенный момент приводит к тому, что траектории уходят в дальние области фазового
пространства, где совершают хаотические колебания. Случайно блуждающая траектория может снова подойти к предельному циклу, тогда снова возникает ламинарная стадия. Чередование ламинарных и турбулентных режимов с преобладанием ламинарной стадии наблюдается при значениях внутреннего параметра динамической системы, находящегося вблизи значений параметра, соответствующего "окну"регулярных движений. При удалении параметра от этого "окна"продолжительность ламинарных стадий становится короче, затем ламинарные стадии вообще исчезают. Для системы Карлемана перемежаемость и последующая стадия - полностью нерегулярный режим проиллюстрированы на Рис. 13-14.
Поведение решений и1, и2 во времени в отдельных точках пространственной переменной для числа Кнудсена равного 0.52 приведены на Рис. 15.
Также интерес представляют профили отклонений концентраций и1, и2 в фиксированные моменты времени, см Рис. 16. Следует отметить, что усредненные во времени пространственные профили значительно отличаются от стационарных решений системы Карлемана., см. Рис.17.
2.3 Показатели Ляпунова
В настоящем параграфе будет показано, что динамика решений системы Карлемана при определенных значениях числа Киудсена действительно хаотическая. Основным критерием, по которому можно судить о наличии хаоса