Классические и квантовые аспекты размерно-редуцированной гравитации и изомонодромные деформации

• Автор: Короткин, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 112 с.

Содержание
1 Введение
2 Редукция уравнений Эйнштейна к двум измерениям. Каноническая структура
2.1 Уравнение Эрнста. Каноническая Пуассонова структура
2.2 Скобки Пуассона матриц перехода
2.3 Волны Эйнштейна-Розена с одной поляризацией
2.4 Пуассонова интерпретация группы Героча
2.5 Обсуждение
3 Каноническое квантование: центрально расширенный твистованный Ян-гианный дубль
3.1 Квантовая алгебра
3.2 Обсуждение
4 Уравнение Эрнста и изомонодромные деформации
4.1 Уравнения Шлезингера. Изомонодромная Пуассонова структура
4.2 Система Шлезингера и уравнение Эрнста
4.3 “Дву-временная” Гамильтонова формулировка уравнения Эрнста
4.4 Учёт симметрии матрицы (7
4.5 Расширение на всё фазовое пространство
4.6 Изомонодромное квантование уравнения Эрнста
4:7 Замечания
5 Тэта-функциональные решения системы Шлезингера. Тау-функция
5.1 Решения системы Шлезингера в тэта-функциях
5.2 Тау-функция системы Шлезингера
5.3 Эллиптический случай и уравнение Пенлевё 6
5.4 Обсуждение

6 Алгебро-геометрические решения уравнения Эрнста.
Формулы для коэффициентов метрики
6.1 Известная форма тэта-функциональных решений уравнения Эрнста
6.1.1 Роль формы сП¥
6.1.2 Решения (6.32) из решений (6.41)
6.2 Общее тэта-функциональное решение уравнения Эрнста
6.2.1 Частичное вырождение спектральной кривой
6.2.2 Непрерывный предел: сгущение двойных точек
6.3 Обсуждение
7 Самодуальные БИ(2)-инвариантные метрики Эйнштейна в терминах тэта-функций

1 Введение
Модели, возникающие путем размерной редукции из четырехмерных уравнений Эйнштейна, служат важным испытательным полигоном при решении многих вопросов как классической, так и квантовой гравитации. При этом физическая значимость получаемых результатов существенно зависит от сложности модели, построенной таким способом.
В качестве простейшего и наиболее изученного примера моделей этого типа можно привести так называемые minisuperspace models [1] 1, которые содержат лишь конечное число физических степеней свободы, и поэтому при квантовании не могут дать никакой информации о полевых эффектах квантовой гравитации. Менее тривиальный пример, привлекающий устойчивый интерес, - это модель, описывающая цилиндрические гравитационные волны с одной поляризацией (волны Эйнштейна-Розена) [2, 3]. Эта модель, которую естественно называть midi super space model, уже включает в себя бесконечное число физических степеней свободы. Такая модель после фиксации всех калибровок допускает описание в терминах единственного скалярного поля <р, зависящего от радиальной координаты х £ [0,оо) и временной координаты t. Уравнения движения и скобка Пуассона, наследуемые из четырёхмерного действия Эйнштейна-Гильберта, в терминах (р имеют вид
Общее решение уравнений движения может быть легко выписано в явном виде:
<р(х,г) = [л+(Л)/0(Аж)еш + Л_(А)./0(Аж)е-ш] d , (1.1)
где 7о - функции Бесселя. В терминах коэффициентов Фурье Пуассонова структура переписывается в виде
Ptt ~f* *рх “Ь фхх 0 ,

{4>{x), (1.2)
русский аналог этого термина автору неизвестен
и Л17 симметричны относительно перестановки двух пространств. Согласованность условия фиксации квантового детерминанта (3.8) с анти-автоморфизмом * следует из равенства
цс1е1(Т±(и;))* = цбе-ЦТвд-И'Й))
Наконец, совместность * с условием симметрии (3.9) является очевидной: (Т+(«?)Т1(го))* = (Т+(ю)Г1(ги))‘ = Т+(ад)Т1И при гу е Ж

Алгебра (3.5)—(3.9) не рассматривалась ранее; она объединяет сразу несколько понятий, существующих в теории квантовых групп. Понятие квантового детерминанта было введено Изергиным и Корепиным в работе [17]. Центральное расширение того же типа, что и в соотношении (3.6), было введено Решетихиным и Семёновым-Тянь-Шанским в работе [53] для случая аффинных квантовых групп; для случая Янгианного дубля оно было рассмотрено в работах [54, 55]. Величина центрального заряда была фиксирована условием совместности коммутационных соотношений с условием (3.9), и тем самым является прямым аналогом критического значения центрального заряда в теории аффинных алгебр. Как известно, существует критическое значение центрального заряда обычного Янгианного дубля, на котором центр становится бесконечномерным [53]. Оказывается, что алгебра (3.5)-(3.9) изоморфна, (но не *- изоморфна!) обычному Янгианному дублю на критическом уровне.
Существенно новым свойством алгебры (3.5), (3.6) является твист 3 г/, который появляется уже на уровне классической Пуассоновой алгебры.
Замечание 3.1 Условие (3.9) вместе с определением анти-автоморфизма * гарантирует, что (ь}) симметрична и инвариантна относительно *. Следовательно, это естественный квантовый объект, который является аналогом зна-5Мы надеемся, что использование термина “твист” в данном контексте не вызовет путаницы, связанной с перегруженностью этого термина в теории квантовых групп. В частности, в работе [56] твистованным Янгианом называется Янгиан алгебры за (ДМ.