Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах

• Автор: Щепетилов, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 268 с. : ил.

Содержание

0.1 Введение

0.2 Указатель обозначений и соглашений

0.2.1 Множества

0.2.2 Пространства

0.2.3 Алгебры и группы

0.2.4 Операции

0.2.5 Разное

1 Двухточечно-однородные римановы пространства

1.1 Классификация

1.2 Специальное разложение алгебры Ли инфинитезимальных изометрий

двухточечно-однородных римановых пространств
1.3 Модели классических компактных двухточечно-однородных римановых
пространств
1.3.1 Модель пространства РП(Н)
1.3.2 Модель пространства РП(С)
1.3.3 Модели пространств Б", Р"(К) и НП(Е)
1.4 Модель проективной плоскости Кэли
1.4.1 Алгебра С а
1.4.2 Йорданова алгебра 1)з(Са)
1.4.3 Октавная проективная плоскость Р2(Са)
2 Дифференциальные операторы на гладких многообразиях
2.1 Инвариантные дифференциальные операторы
на группах Ли и однородных пространствах
2.1.1 Основные обозначения
2.1.2 Инвариантные дифференциальные операторы на группах Ли
2.1.3 Инвариантные дифференциальные операторы на однородных
пространствах
2.1.4 Представление алгебры БійМ) образующими и соотношениями
2.2 Оператор Лапласа-Бельтрами в подвижном репере
2.3 Самосопряженность гамильтонианов
2.3.1 Самосопряженность операторов в абстрактных гильбертовых
пространствах
2.3.2 Самосопряженность операторов Шредингера на римановых пространствах
2.4 Общая схема квантовомеханической редукции

3 Алгебры инвариантных дифференциальных операторов на расслоении единичных сфер над двухточечно-однородным римановым пространством
3.1 Инвариантные дифференциальные операторы
на пространстве Qs
3.2 Алгебры Diff/(Pn(H)s) и Diff/(Hn(H)s)
3.2.1 Образующие алгебр Diffj(Pn(H)s) и Diff/(Hn(H)s)
3.2.2 Соотношения в алгебрах Diff/(Pn(H)s) и Diff/(Hn(H)s)
3.3 Алгебры Diff/(Pn(C)s) и Diff/(Hn(C)s)
3.3.1 Образующие алгебр Diff/(P"(C)s) и Diffr(Hn(C)g)
3.3.2 Соотношения в алгебрах Diffj(P"(C)s) и Diff/(Hn(C)s)
3.4 Алгебры Diff/(P7l(R)s), Diffj-(Sg) и Diff/(H’t(R)s)
3.4.1 Образующие алгебр Diffj(Sg) и Diff/(Hn(R)s)
3.4.2 Соотношения в алгебрах Diff/(S§) и Diff/(H"(R)s)
3.5 Алгебры Diffj(P2(Ca)s) и DiffHCtOs)
3.5.1 Образующие алгебр DifF/ (P2(Ca)s) и Diffj (H2(Ca)s)
3.5.2 Соотношения в алгебрах Diff/(P2(Ca)s) и Diff/(H2(Ca)s)
3.6 Ядро оператора D0
4 Гамильтоновы системы с симметрией и их редукция
4.1 Основные факты гамильтоновой механики
4.2 Гамильтонова механика с симметриями
4.2.1 Пуассонова структура на алгебре 5(g)
4.2.2 Пуассоново действие и отображение момента
4.2.3 Некоммутативная интегрируемость и отображение момента
4.2.4 Метод гамильтоновой редукции
4.3 Гамильтоновы системы на кокасательных расслоениях
4.3.1 Каноническая симплектическая структура на кокасательных расслоениях
4.3.2 Инвариантные функции на кокасательных расслоениях
4.3.3 Натуральные механические системы и деквантование
4.3.4 Редукция кокасательного расслоения над однородным пространством
5 Двухточечный гамильтониан на двухточечно-однородных пространствах
5.1 Однородные подмногообразия в конфигурационном пространстве задачи двух тел
5.2 Двухточечный гамильтониан на компактном
двухточечно-однородном пространстве
5.3 Двухточечный гамильтониан на некомпактном двухточечно-однородном
пространстве
5.4 Связь двухточечного гамильтониана и алгебры Diffc(Ms)
6 Материальная точка в центральном поле на двухточечно-однородных пространствах
6.1 Интегрируемость одночастичного движения в
центральном поле на двухточечно-однородных пространствах

6.1.1 Движение на пространствах P2(Ca), P2(IHI), Р2(С)
6.1.2 Движение на пространствах S2,P2(M) и H2(R)
6.2 Движение частицы в бертрановских потенциалах на пространствах постоянной кривизны
6.2.1 Задача Кеплера
6.2.2 Изотропный осциллятор
6.3 Квантовомеханическая одночастичная задача для бертрановских потенциалов в пространствах постоянной кривизны
6.3.1 Гиперболический случай
6.3.2 Сферический случай
7 Классическая механическая задача двух тел на двухточечно-однородных пространствах
7.1 Явно инвариантный вид гамильтоновой функции задачи двух тел на компактных двухточечно-однородных пространствах
7.1.1 Кватернионный случай
7.1.2 Октавный случай
7.1.3 Комплексный случай
7.1.4 Вещественный случай
7.2 Явно инвариантный вид гамильтоновой функции задачи двух тел на некомпактных двухточечно-однородных пространствах
7.2.1 Кватернионный случай
7.2.2 Октавный случай
7.2.3 Комплексный случай
7.2.4 Вещественный случай
7.3 Динамика двухчастичной системы и проблема столкновения частиц
7.3.1 Проблема столкновения частиц
7.3.2 О поиске нетрипиальных интегралов движения
7.4 Проблема центра масс на двухточечно-однородных пространствах
7.4.1 Существующие понятия центра масс на пространствах постоянной кривизны
7.4.2 Связь существующих понятий центра масс с двухчастичной гамильтоновой функцией
7.5 Гамильтонова редукция задачи двух тел на пространствах постоянной кривизны
7.5.1 Гамильтонова редукция задачи двух тел па сферах
7.5.2 Гамильтонова редукция задачи двух тел на пространствах Н2 и Н3185
7.6 Неинтегрируемость приведенной задачи двух тел на пространствах S2 и Н2(М)
7.6.1 Основной результат теории Моралеса-Рамиса
7.6.2 Частные решения и уравнение в вариациях
7.6.3 Ныотоноподобный потенциал
7.6.4 Осцилляторный потенциал
7.6.5 Потенциалы V(9) = atg9 и V{ß)
7.6.6 Потенциалы Н(0) = —asin_10 и V(6) = — ash-1#
7.6.7 Доказательство неинтегрируемости
§1.4. Модель проективной плоскости К эли

1.4.3 Октавная проективная плоскость Р2(Са)

Элементы X £ Р)з(Са), удовлетворяющие условиям
Х2 = Х,ЬтХ = 1, (1.38)
образуют октавную проективную плоскость Р2(Са), которая является 16-мерным вещественным многообразием. Автоморфизмы алгебры Ь)3(Са) сохраняют уравнения (1.38) и группа 1' действует на Р2(Са). Из теоремы Фрейденталя и уравнений (1.38) следует, что каждый элемент из Р2(Са) подходящим преобразованием из РА можно перевести в элемент Е. Поэтому Р2(Са) является однородным пространством группы А] и вычисления из [65] (лекция 16) показывают, что стационарная подгруппа любой точки X £ Р2(Са) изоморфна группе Брт(9).
Пусть элемент
X = (1 + а{)Е + а2А2 + азАз + Хх(£х) + Х2(£2) + Хз(£з) £ Р2(Са)
находится в некоторой окрестности элемента Ах, т.е. величины |ф|, г = 1,2,3 достаточно малы. Из (1.36) получаем
X о X = (1 + 2а1)Е1 + Х2(&) + Х3(&) + о {(а? + |&|2)

и равенство X о X = X влечет аА = а2 = аз = 0, ф = 0. Это означает, что касательное пространство Тг1Р2(Са) отождествляется с множеством {Х2(£2) +Х3(£з) | £х, £2 € С а}.
Пусть К С - стационарная подгруппа, соответствующая точке Е и действующая автоморфизмами в пространстве Тд1Р2(Са) ~ (Х2(£2) + Х3(£з) | £х,£2 6 Са}. Пусть К0 - стационарная подгруппа группы К, соответствующая элементу Х3(1) £ 7я,Р'-(С«).
Согласно §3.5, мы должны вычислить Ао-действие на пространстве Тв,Р2(Са). Для любого элемента X £ [)з(Са.) пусть аппХ := {У £ Ьз(<Са) | у о X = 0}. Будучи автоморфизмом алгебры 1)з(Са), элемент Ф 6 Ап сохраняет пространство апп Х3(1). Из формул (1.36) следует, что
апп А3(1) = {а{Е1 - Е2) + ЬЕ3 + Х3(£) | а,Ь £ К, £ £ Са'}
Если Ф(Ах —* А2) = а(Ах — А2) I ЬЕ3 -Ь Х3(£), то
1 — А (Ах — Е2, Е) = Л (Ф(Ах — Е2), Ф(Ах)) = Л (а(Ах — Е2) + ЬА3 + Х3(£), Ах) = а.
Отсюда Ф(Ах — Е2) = Еа — Е2 + ЬЕ3 + Х3(£) и равенство ||Ах — А2|| = ||Ф(Ах — А2)|| дает Ь = 0,£ = 0. Это означает, что Ф(А2) = А2 и поэтому Ф(А3) = Ф(А — Ах — А2) = А — Ах - А2 = А3. Таким образом, группа А0 сохраняет элементы Ах, А2, А3.
Пусть А' - максимальная подгруппа группы Ах, сохраняющая элементы Ах, А2, А3. Тогда А0 С А' С А. Поскольку апп Ах = {а2А2 + а3А3 + Хх(£), а1; а2 £ К, £ £ Са}, то группа А' отображает элемент Хх(£) в элемент Хх(£) и аналогично Хг() (-> Х,(£г), г
1,2,3.
Пусть Ф, : Са (—> Са, г = 1,2,3 - ортогональные операторы такие, что ФХ,(0) = X; (Фг(г)) для Ф £ А'. Из последней формулы в (1.36) следует, что
*з (Фз()) = ф (Хз(Щ = 2Ф (Хх(0 оХ2(ч)) = 2Ф (Хх(0) ° Ф №(»?))
= 2Хх (Фх(О) о Х2 (Ф2(ц)) = Хз (фх(ОФа07))