Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений двойного математического маятника

• Автор: Иванов, Алексей Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 148 с. : ил

Содержание
1 Введение
2 Численное исследование гомоклинических трансвер-сальных пересечений двойного математического маятника
2.1 Сечение Пуанкаре. Отображение Пуанкаре. Фазовые портреты
2.2 Периодические гиперболические точки отображения Пуанкаре
2.3 Построение сепаратрис отображения Пуанкаре
2.4 Гомоклинический инвариант
2.5 Точность вычислений
3 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы при 5 -> 0 в случае, когда значения параметров е и п близки к вырожденным значениям
3.1 Поведение двойного математического маятника в пределе при 6 -*
3.2 Расщепление сепаратрис предельной системы в случае адиабатического возмущения
3.2.1 Гиперболические периодические траектории
3.2.2 Уравнения в вариациях в окрестности гиперболических периодических траекторий
3.2.3 Техническая лемма
3.2.4 Построение сепаратрис гиперболических периодических траекторий
3.2.5 Гомоклинические трансверсальные пересечения сепаратрис гиперболических периодических траекторий
3.2.6 Количественные оценки на значения параметров, при которых существуют гомоклипиче-ские трансверсальные пересечения предельной системы
3.3 Расщепление сепаратрис предельной системы в случае
быстроосциллирующего возмущения
3.3.1 Гиперболические периодические траектории
3.3.2 Уравнения в вариациях в окрестности гиперболических периодических траекторий в случае быстроосциллирующего возмущения

3.3.3 Техническая лемма
3.3.4 Построение сепаратрис гиперболических перио-
дических траекторий в случае быстроосцилли-рующего возмущения
3.3.5 Гомоклинические трансверсальные пересечения
предельной системы в случае быстроосцилляци-онного возмущения
3.3.6 Количественные оценки на значения параме-
тров, при которых существуют гомоклинические трансверсальные пересечения предельной системы
4 Исследование гомоклинических пересечений предельной системы при 5 —У 0 в случае, когда значение одного из параметров е, v фиксировано, а значение другого близко к вырожденному значению.
4.1 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы в случае низкоэнергетического возмущения
4.2 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы в случае высокоэнергетического возмущения
4.3 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы в случае адиабатического возмущения
4.4 Исследование гомоклинических трансверсальных пересечений предельной системы в случае высокочастотного возмущения
4.4.1 Асимптотический метод
4.4.2 Численный метод для определения константы ©l(i')
5 Заключение

1 Введение
Данная диссертация посвящена изучению эффекта расщепления сепаратрис динамической системы ” двойной математической маятник” , которая является классическим примером консервативной динамической системы с непрерывным временем. Явление расщепления сепаратрис рассмотрено во многих научных работах (например, [28], [3], [12], [9], [34]). В большинстве из них рассматриваются модельные искусственные динамические системы. В то время, как реальные физические системы мало изучены в силу сложности аналитических построений.
Хорошо известно, что нелинейные автономные гамильтоновы системы могут включать как регулярное, так и стохастическое поведение своих траекторий. В интегрируемом случае (когда количество независимых интегралов движения равно числу степеней свободы системы) движение довольно просто описать. Фазовое пространство разбивается на инвариантные многообразия (лагранжевы торы), каждый тор порождает квазипериодическое движение с частотами, зависящими от тора. Если число степеней свободы больше единицы, то при достаточно малом возмущении динамической системы часть инвариантных многообразий исчезает, однако, большинство торов остается, лишь немного деформировавшись. Оставшиеся торы порождают квазипериодическое движение с теми же частотами, что и соответствующие торы невозмущенной задачи, и, как следует из КАМ-теории, удовлетворяют некоторым дополнительным условиям нерезонансности [1]. Указанные инвариантные торы образуют большинство в том смысле, что мера, Лебега дополнения к их объединению мала с возмущением. На месте разрушенных инвариантных торов появляются новые, однако, вообще говоря, дополнение к инвариантным многообразиям в этом случае не пусто, и движение сильно усложняется [32].
Основной составляющей этого движения являются гиперболические периодические траектории. Каждая гиперболическая периодическая траектория обладает устойчивым и неустойчивым инвариантными многообразиями, сплошь заполненными траекториями, неограниченно приближающимися к периодической траектории при £ —У ±оо. В интегрируемых гамильтоновых системах эти поверхности, как правило, попарно совпадают. В неинтегрируемых случаях ситуация иная: инвариантные многообразия могут трансверсально пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Если устойчивое и неустойчивое многообразия принадлежат одной

где F2{Z, t) = sin(2£)—sin (21 - ± t + ^ (^)2 sin(21) + Z(*)).
Пусть
Zo = 0, Zk^yl21^-) f f F2(Zk-1(p),p)dpds, k> 1. (3.1.40)

Используя (3.1.19), оценим первое приближение
47Г2 ( 1 Cq^
,S^iWI£(^(I+4)=# (3'L41)
Сделаем индукционное предположение
sup Zk{t) < —, 0 < к < п. (3.1.42)
*е[0,2тг] ^
и докажем это неравенство для Zra+i. Из формул (3.1.39) и (3.1.19) следует, что

sup |Zn+i(i) - Zn(t) < ——2 sup |Z„(t) - Zn_i(t)|. (3.1.43)
te[0,2Tr] У ~ 1J *е[0,2тг]

£( fc=i
“ (|Д4)!
71+1 .
Так как Zn+ = E (Z}; — Z^-i), получаем, что если параметр и удо-

влетворяет условию q2 — („2^1)2 < 1, TO
sup Zn+\ < sup Z\ Y,q2 < C[}2U (3.1.44)
4е[0,2тг] ге[0,2тг] k= 1 1 ~
И мы имеем условие на значение параметра цн и константу достаточное для выполнения неравенства (3.1.42):
< cind. (3.1.45)

Мы можем взять, например, Cin(i = 2С'о2, тогда г/02 определяется следующим неравенством:
№-1)2 < 2' (зл-46)
Таким образом, последовательность {Zn}=0 сходится к решению Фи(2к(и)^)’ ноРма которого может быть ограничена следующим образом

sup te[0,4R»] v
Следовательно, Лемма 3.1.2 доказана. □