Изогюйгенсовы деформации однородных дифференциальных операторов

• Автор: Хэкало, Сергей Павлович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 164 с.

Содержание
Введение

Глава I. Специальные функции на матричном пространстве

Введение
1. Сложная степенная функция Гиндикина на самосопряженном конусе Ут вещественных положительно определенных симметрических т X 771-матриц

и связанные с ней гамма и бета-функции

2. Сложная степенная функция Гиндикина, связанная с пространством Мп<т вещественных прямоугольных п х ш-матриц

3. Гамма и бета-фуикции на Мп<т

4. Дзета-функция Игузы, ассоциированная со сложной степенной функцией Гиндикина на Мщт
Глава II. Радиально однородные дифференциальные операторы на матричном пространстве
Введение
1. Радиально однородные операторы Кэли-Гординга-Гиндикина на Угп
2. Радиально однородные операторы Кэли-Лапласа на Мщт
(a) Целые векторы
(b) Операторы Кэли-Лапласа
(c) Радиальная часть оператора Кэли-Лапласа
(<1) Формулы дифференцирования и многочлен Бернштейна
(е) Оператор Дш
3. Принцип Гюйгенса для операторов Кэли-Гординга-Гиндикина
и операторов Кэли-Лапласа
(a) Операторы Кэли-Гординга-Гиндикина
(b) Операторы Кэли-Лапласа
4. Оператор теплопроводности на Ут X Мп<т
(a) Оператор теплопроводности
(b) Тепловой источник
(с) Интеграл Пуассона
Глава III. Потенциалы Рисса на Мп т
Введение
1. Потенциалы Рисса, ассоциированные со сложной степенной функцией
на Мп,т- Простейшие свойства
2. Полугрупповое свойство потенциалов Рисса на М„,т
3. Соотношение между потенциалами Рисса и интегралом Пуассона.
Второе доказательство полугруппового свойства
(a) Соотношение между потенциалами Рисса и интегралом Пуассона
(b) Второе доказательство полугруппового свойства
4. Интегральное уравнение со сложным степенным ядром на Mnja
Глава IV. Калибровочная эквивалентность и изогюйгенсовы
деформации однородных операторов
Введение
1. Калибровочная эквивалентность операторов и анзатц Береста-Веселова -Молчанова
2. Пошаговая калибровочная эквивалентность операторов
3. Пошаговая калибровочная эквивалентность обыкновенных дифференциальных операторов
(a) АБ-магрица оператора
(b) Алгебраические тождества
(c) Решение системы R*
4. Первый критерий пошаговой калибровочной эквивалентности операторов
(a) Критерий
(b) Примеры калибровочно эквивалентных операторов
5. Второй критерий пошаговой калибровочной эквивалентности операторов
(a) Критерий
(b) Общая задача
6. Решение проблемы Адамара в классе пошагово калибровочно эквивалентных деформаций априори гюйгенсовых дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами
7. Примеры изогюйгенсовых деформаций различных классов операторов
(a) Временные деформации степеней волнового оператора
(b) Деформации оператора Кэли-Гординга-Гиндикина по выбранному направлению
(c) Деформации операторов Кэли-Гординга-Гиндикина
(d) Деформации операторов Кэли-Лапласа
Список литературы

Доказательство последнего равенства основано на пошаговой калибровочной эквивалентности операторов Т1к, £є{0}и]Ч.
Теорема 0.19. ([55]) Для того чтобы операторы Ск удовлетворяли условиям пошаговой калибровочной эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы с точностью до сдвигов переменной х Е имело место равенство
г -V — 1)(»")(*>а п
А- — — 2_, < А х >’ / „Яз(I*, А) <9,ц...дцК_,
Примеры показывают, что существуют системы А = {А = (4Х
£{*Л} = 4)+£(-1Г1(*-1)(Т) 'Еа)
а=2 ' ‘ АА ’ (1
калибровочно эквивалентны оператору С0 при помощи функции /{кА}{х) с показателем калибровки |к| :
СуХо /{*а} = °> /{Ы(х) = П < А' Х >кА’ 1*1 = Е кл'
АеА АеА
Пример 0. 3. Пусть система А состоит из одного вектора и {к а} — к е {0} иГт, тогда получается деформация из теоремы 0.19.
Пример 0. 4. Пусть х = (ж1, Е IIм и
д2 92 £о = *-щ + ~ + щ;
оператор Лапласа на Н., К = 2. В качестве А возьмем положительные корни произвольной корневой системы в БД, отвечающей конечной группе IV =< 3.4 >, порожденной отражениями
2 < А, х >
яла:;=:г- <а,а>а
в БД. В качестве кл возьмем функции, инвариантные относительно действия указанной группы: кыА = к а, Уи) Е И7. Тогда, поскольку
і і’ и1 - 7’ =< А’А >>

получаются деформации
л кл(кл +1) , ,, л
{} - А ~ Е <А>Х>* <А’А>