Осреднение и локализация решений некоторых краевых задач для полулинейных эллиптических уравнений в перфорированных областях

• Автор: Пикулин, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Оглавление
Введение
0.1. Общая характеристика работы
0.2. Обзор содержания диссертации
0.3. Основные обозначения
0.4. Основные определения и некоторые известные факты
I Сферически перфорированные области
§ 1 Задачи в перфорированном кубе
1.1. Локализация носителя решения
1.2. Сходимость решений
§ 2 Осреднение задачи с неоднородным краевым условием
2.1. Сходимость решений
2.2. Интегральная сходимость градиентов
II Цилиндрически перфорированные области
§ 1 Свойства решений
1.1. Функциональные пространства
1.2. Разрешимость задач Дирихле и Зарембы
1.3. Вариационный принцип и ограниченные решения
1.4. Аппроксимация обобщенных решений
§ 2 Вспомогательные результаты
2.1. Свойства меры с плотностью хр
2.2. Некоторые свойства гладких функций и классических решений
2.3. Оценка решения в центре шара при а >
2.4. Обнуление решения в центре шара при а <
2.5. Оценки решений задачи Дирихле
§ 3 Теоремы о локализации и сходимости
3.1. Локализация носителя

3.2. Сходимость решений
3.3. Интегральная сходимость решений вместе с градиентами
Литература

Введение
0.1. Общая характеристика работы. Диссертация посвящена изучению свойств решений квазилинейных уравнений второго порядка с равномерно эллиптической главной частью в перфорированных областях.
Примером такого уравнения является следующий аналог стационарного уравнения Фуджиты (ж € Мп):
Л и — |ж|в |и|ст signu — 0, 0 < а ф 1, з > 0. (0.1)
Для уравнений данного вида рассматриваются краевые задачи Дирихле и Зарембы в ограниченных липшицевых областях 12, содержащих конечное число одинаковых полостей шаровой или цилиндрической формы. Решения указанных задач в классе ИфДП) П ЬО0(Г2) понимаются в обобщенном смысле. Известно [61], что для функций из ИД(12) в липшицевой области 12 определены их следы на <912, принадлежащие пространству И2 (912). Исходя из этого, краевые условия типа Дирихле, отвечающие функциям класса ¥2(дС1) ПДДШ), задаются в виде следов функций класса (12) ПЬ00(12), определенных во всей области.
Поведение решений краевых задач такого вида имеет ряд особенностей, не возникающих в линейном случае; в частности:
1) при а е (0,1) и выполнении однородного условия Дирихле или Неймана на «внешней» границе области носитель ограниченного решения локализован в окрестности полостей, размер которой зависит от входных данных (эффект локализации носителя);
2) при достаточно больших а > 1 и достаточно быстром стремлении размеров полостей к нулю одновременно с ростом их количества при фиксированном условии Дирихле на внешней границе наблюдается сходимость
Глава II
Цилиндрически перфорированные области
В этой главе изучаются задачи для квазилинейного уравнения вида
в области Г2 с цилиндрической перфорацией: исключаемое из области множество состоит из Л - окрестностей конечного числа аффинных подпространств К" заданной коразмерности п' > 3. Предполагается, что коэффициент а(х) может иметь нуль порядка 5 > 0 в начале координат:
Первый параграф посвящен общим свойствам решений краевых задач для уравнения (2.1). Методом приближений Галёркина для коэрцитивных слабо компактных операторов [28, 10, 52] доказаны теоремы существования и единственности ограниченного обобщенного решения из ИДД). Доказана возможность аппроксимировать обобщенное решение решениями уравнений того же вида с гладкими коэффициентами, что позволяет распространять на обобщенные решения некоторые свойства классических решений. Второй параграф содержит вспомогательные результаты. В пункте 2.1. устанавливается оценка для меры ограниченного подмножества в 1" с плотностью хр через его лебегову меру. При р > 0 эта оценка используется в доказательстве теорем пп. 2.3., 2.4., при р < 0 — в теореме об
(2.1)
а(х) > ао ]ж|5, ад = сопэ! > 0.
(2.2)