Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка в многомерной области

• Автор: Нахушева, Фатима Мухамедовна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 111 с. : ил.

Введение
Многие проблемы теории фильтрации жидкости в сильно-пористой среде (во фрактальной среде), фильтрации жидкости в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин приводят к необходимости изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной [9, 23, 33-36, 41, 54], язык дробных производных применен в работе [53] при описании физических процессов стохастического переноса. Дробные производные использовались также при изучении деформационно-прочностных свойств полимерных материалов [10]. В [55, 56] предложена физическая интерпретация дробной производной, не связанная с той или иной конкретной проблемой. На основе этой интерпретации получены обобщенные уравнения переноса для медленных и быстрых стохастических процессов.
возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. Первые шаги в этом направлении были сделаны Г.Лейбницем, Я.Бернулли, Л.Эйлером, Ж.Фурье [69, 66]. Понятие дробной производной тесно связано с интегральным уравнением Абеля
1_| =у(дс)> х> а, 0 <« < 1, (0.1)
Г(а)1(х-(У “
возникшим в связи с решением задачи о таутохроне. В работе Абеля [61] дано решение уравнения (0.1) для произвольного ае(ОД), хотя задача о таутохроне
приводит к случаю а~ ) [61]. Решение уравнения (0.1) в классе интегрируемых
функций задается формулой (см., например, [49])
Выражение, стоящее в правой части (0.2), есть дробная производная порядка а,
Идея обобщения понятия
с1р/(х)
дифференцирования на нецелые р

(0.2)

0<а<1 и будем обозначать ее через Dff (или £>“/) (см. [49, 37]).
В 1832-1837 гг. появляется серия работ Лиувилля [70-77], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного исчисления. Изучение производных любого порядка было продолжено в работах Б.Римана, Х.Хольмгрена, А.В.Летникова, А.Грюнвальда [32, 67, 68, 81]. К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L.O'Shaughnessy, S.Mandelbrojt [79, 78]. Задачу типа Коши для уравнения Dfy = fix, у) рассмотрели E.Pitcher, W.E.Sewell в работе [80], в которой они доказали теорему существования и единственности решения рассматриваемой задачи. В дальнейшем эти результаты были значительно обобщены в работах M.A.Bassam [64, 65], A.Z.Al.Abedeen [63], A.Z.Al.Abedeen, H.L.Arora [62], где получен ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В работе А.М.Нахушева [37] изучена задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения дробного порядка

Ly = у"(х) + а0(х)у'(х) + (x)Dg (cok(x)y(x))+ат+г(х)у(х) = f(x), (0.3)
fe=i
где 0<а К задаче Штурма-Лиувилля
РоУХ °) + ЧоУ(®) = г0, рху 1) + qxy( 1) = Д для уравнения вида (0.3) редуцируются многие прямые и обратные задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.
В работах [1, 2] Т.С.Алероев исследовал спектр задачи Дирихле для дифференциального уравнения
и"(х) + а(х)В“хи = f(x), 0<х<1, 0<а<1. (0.4)
Им показано, что задача и{ 0) + fiu’(O) = и{ 1) = 0, {3 > 0, fix)- 0, а{х) -X не

имеет отрицательных собственных значений.
Еще раньше А.М.Нахушевым в [37] показано, что число А является собственным значением задачи
и( 0) = 0, и{ 1) = 0, а(х) = Я для уравнения (0.4) тогда и только тогда, когда Ак является нулем функции Миттаг-Леффлера Е2 а2(-А) (см. [20]).
Ряд работ В.К.Вебера [11-16], М.И.Иманалиева, В.К.Вебера [25] посвящен исследованию систем дифференциальных уравнений дробного порядка в пространствах обобщенных функций.
Работа М.Х.Шханукова [59] посвящена построению дискретного аналога дробной производной порядка а, 0<а<1 и построению разностных схем для решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка. Работы [7, 8, 18, 57, 58] посвящены построению разностных схем для обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений в одномерном случае.
Бабенко Ю.А. в работе [5] для определения тепловых и диффузионных
потоков на границе раздела двух сред применил метод расщепления оператора
уравнения на два множителя, каждый из которых содержит производную порядка
— по (см. также [28]).
Диссертационная работа посвящена разработке численно-аналитических методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной в многомерной области.
В ней получены следующие основные результаты:
1. Для решения краевых задач (первой начально-краевой и третьей) с дробной производной в младших членах в цилиндре <2г =Сх(Од0], где в = {х = {х1, х2

|М-ки1,-,хк_и0,хк+ъ
О' 1 а
+ — е\их II ск'+ — [|МР сЬс’ <
2 (И *кщ(щк) 2 , ''С(0Л)

г-к+и2Хк(Ьс + -и2(Ь. (1.30)
11 к С 1 о 1 О
Точно также оценим
ц+ки(х1
<—!— | цк(Лхл-е-и1хх +—игйх.
9/ л ' +К 9 J хк
"а а с о
(1.31)
Сложим (1.30) и (1.31) и просуммируем полученное соотношение по к ОТ 1 ДО Р

X )М-ки(Ъ>--->хк-1>0’хк+1’-">хР>()‘*х' +
к=1 О'
+ X |М+кФ4+1 ,->хр,*)<& <
к~ &

X 4т I м~к +1кФ+4их(0+
к=1 о
ФПо-
Подставляя полученное неравенство в тождество (1.29), получаем
Ио+КИо5
1/£+Ц+с«/’)1Н!о+!Ы1о) 032)
где С=С~£.
Проинтегрируем (1.32) по г от 0 до ?
о+2сАиЛ1& Мад,+ с1)И2,е( +