Асимптотические решения уравнений квантовой динамики электрона в нанопленках

• Автор: Некрасов, Роман Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Редукция квантовомеханических уравнений заданных в тонких структурах к эффективным уравнениям заданным на предельных низкоразмерных структурах
1.1 Операторно знатное разделение переменных
1.2 Уравнение Паули-Рашбы заданное в тонкой искривленной пленке находящейся во внешнем однородном магнитном поле
1.2.1 Оператор Н в криволинейных координатах
1.2.2 Редукция к уравнению на двумерной поверхности
1.3 Спектральная задача для гамильтониана Паули-Рашбы
1.4 Уравнение Хартри заданное в тонкой искривленной трубке
1.4.1 Постановка задачи в криволинейных координатах
1.4.2 Редукция к пространственно одномерному уравнению
1.4.3 Случай параболического потенциала конфайнмента
2 Квазиклассические решения задачи Коши редуцированных уравнений
2.1 Задача Кошн с локализованными начальными данными
2.2 Квазиклассические сосредоточенные решения уравнения
Хартри
2.2.1 Волновые пакеты в периодических структурах: не
расплывание пакетов и сверхлокализация
3 Квазиклассический спектр и собственные состояния
3.1 Интегрируемый случай. Примеры
4 Приложения
Список литературы

Введение
Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные ква-зиодиомерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - нанотрубки и нанопленки. В одних направлениях эти структуры имеют атомные масштабы, в других — могут быть достаточно протяженными и состоять из сотен, тысяч и более атомов (таким же свойством обладают длинные белковые молекулы).
Нас интересует поведение одного электрона (как квантовой частицы, или квазичастнцы) в одочаетичном приближении, что определяет некоторые электрические свойства наноструктур. В рассматриваемых нами моделях (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой “сплошные” области типа тонкой трубки и тонкой искривленной пленки. Вне этих областей волновая функция Ф(г, I) квантовой частицы “экспоненциально” быстро убывает (модель “мягких стенок”), либо равна нулю (модель “жестких стенок”).
Поведение электрона определяется оператором Шредингсра, члены которого в свою очередь определяется потенциалами сил. Мы рассмотрим два типа потенциалов:
1) Как и в (18, 24], мы полагаем, что (трехмерная) квантовая динамика электрона в наноструктурах, помещенных во внешнее электромагнитное поле, описывается т.н. гамильтонианом Паули-Рашбы [36]:
- Р2 ей
Чря = — + (г) + Нох„(г) - (бГ, В) + ?*80, (1)
2т 2тс
где г - радиус-вектор точки в трехмерном пространстве, Р = —гЙУ — (е/с)А(г), й,т,е - физические постоянные (постоянная Планка и эффективная масса, заряд электрона), Ущг) - потенциал конфайнмента, ограничивающий движение частицы областью, занятой наноструктурой, Усхг) и А(г) = (—Вхп/2, Вх/2,0) - потенциалы внешних электрического и магнитного полей, В = го! А - однородное магнитное иоле, ст = {<7!, 0-2,од} - матрицы Паули, Т15о = а(а, [УнтыР]} - оператор взаимодействия спина электрона с электрическим полем кристалла

стоянная а зависит от типа рассматриваемого кристалла [20]. Жирными буквами обозначены векторы и векторные операторы с компонентами в декартовой системе координат.
2) Мы также рассмотрим другую модель, когда потенциалы внешних полей равны нулю, но присутствует нелинейный потнециал. В нелинейной теории известно много моделей, где используются уравнения типа Хартри (с нелокальным нелинейным взаимодействием) в трехмерном евклидовом пространстве:
Ппаr= -’A + vint(r)+ [ G(r,r')|®(r',i)|2*', ret3, (2) /т J&3
здесь нелинейный потенциал fR3 G (г, г')|Ф(г')|2с/г' зависит от волновой функции Ф(г, £) на которую должен действововать оператор 'Ннаг (уже как линейный оператор). Этот потенциал учитывает возможные деформации трубки под действием электрона, или возможное самодействие электронов (является эффективным потенциалом самосогласованного псшя в одночастичном приближении). Для Бозе-Эйнштейновского конденсата, такой же член дает обобщение уравнения Гросса-Питаевского на случай нелокального нелинейного взаимодействия. Если поперечные размеры волновода периодически меняются вдоль его оси, то в грубом приближении, их можно так же использовать в задачах моделирования распространения внутримолекулярных возбуждений вдоль длинных молекулярных цепочек (ср. с [42]).
формулировка задачи
В представляемой работе изучаются задача Коши и спектральная задача для Уравнений Шредингера с гамильтонианом Паули-Рашбы заданных в областях имеющих вид тонкой пленки, а также задача Коши для Уравнения Хартри с нелокальным нелинейным членом в областях имеющих вид тонкой трубки в пространстве (рис.1).
Квантовые состояния электрона в трехмерном пространстве (в том числе стационарные) Ф(г, t) удовлетворяют нестационарному уравнению
>mt = Ш. (3)
В качестве граничных условий для этих уравнений рассматривается либо условие Дирихле Ф|п = 0 ("жесткие стенки"), либо роль граничного условия выполняет быстро растущий в поперечном к пленке или трубке направлении потенциал (потенциал конфайнмента) vint —» +оо ("мягкие стенки"). Начальные условия (в случае задачи Коши) имеют вид узколокализованных волновых пакетов и будут описаны ниже.

(1/1,4!)/ /Щх)Щх) ( пгу% П2у2
|«1л)=рщ,<1,Ь—г;"
х нп (/1 (х)у1)Нъ (/ П2 (-т)з/й),
где Н„(х) - и-ый полином Эрмита. Функция £0 определяется формулой (1.46).
Далее вычислим Д, XI- Чтобы вычислить по формуле (1.41), а затем правую часть уравнения (1-52) пользуемся конкретным видом членов С1,Н1 разложений (1.28),(1.37):
01 = £ Си(х,х'т*')2Лх'+
+-щ (+1Хо+1 + Хо1’'1) 2 Я, ~ /(1 + 2)(г/х + 1)Хо1+2,‘2 + fviv — Дхо1 2’"2 +
(~ + + 1)Хоь1/2+2 + /2(2 — 1)Хо1,1/2 2) — 1
ЯДт.р, 2/)Хо1,1/2 = к'(т)р2упХо ~
= ()Г(ПХ0,,1’‘'2 + Хо1“1') -Л|А'(х)р2(%ДД + Тхо1+1 + х/Хо1)
(,>, = 0 (Д,Х(?’ = 0 (Я1Хо1'"2,ХоЬ‘'% = 0 (1.54)
Здесь первые три равенства можно получить использованием известных формул для полиномов Эрмита
хН1,(х) = ~ (#„+1(з:) + 2уНи(х)) , = 2г4Д_ь
а вторые три легко следуют, например, из ортогональности системы функций Хо1’2 и первых двух равенств.
В итоге, уравнение на XI запишется так
( - ~АУ + уш(х,у) - е*”(х))х?" = Аъ+,„Хо1+2'"'2 + ,1+1«Хо1+1,И2+
III ,,1-1,ег I Л -.<1—2,12 , I VI ,1*2+-‘2 . л +
+А-,-1,1*2 Хо +4И1_2,г/2Хо + ЛгЬ1*2+2Хо +ЛЧ,Г2+хХц +
I Л VI,, , -.VI,1
Г71III ,1*2—1 ЛИ I */1/1,1*2—2,Х_0 I
№”,&м)у = о,
(1.55)