О некоторых краевых задачах для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости

• Автор: Прозоров, Константин Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

ГЛАВА 1. Задача с косой производной вне разрезов

на плоскости для уравнения Гельмгольца

1. Постановка задачи

2. Интегральные уравнения на границе

3. Уравнение Фредгольма и решение задачи

ГЛАВА 2. Задача Дирихле-Неймана для уравнения Гельмгольца

вне разрезов на плоскости

1. Постановка задачи

2. Сведение задачи к интегральным уравнениям

3. Существование решения

4. Поведение градиента решения на концах контура

ГЛАВА 3. Обобщенная задача о скачке для уравнения
Гельмгольца вне разрезов на плоскости
1. Постановка задачи
2. Сведение задачи к интегральным уравнениям
3. Существование решения
4. Поведение градиента решения на концах контура
ГЛАВА 4. Уравнение Гельмгольца на плоскости с разрезами,
когда условие Дирихле и условие с косой производной заданы на разных сторонах разрезов
1. Постановка задачи
2. Сведение задачи к интегральным уравнениям
3. Существование решения
4. Поведение градиента решения на концах контура
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач вне разрезов на плоскости для уравнения Гельмгольца, описывающего как волновые, так и неволновые процессы.
Краевые задачи вне разомкнутых кривых (разрезов) на плоскости имеют много приложений в физике, механике, т.к. разрезы моделируют трещины в твердых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках. Аналогично можно решать задачи химической кинетики и биофизики, где разрезы моделируют пластинчатые катализаторы, мембраны и так далее.
В последнее время, в связи с бурным развитием математического моделирования, в теории внешних краевых задач появилось большое количество новых результатов. В частности, значительный прогресс достигнут в строгом исследовании краевых задач вне криволинейных разрезов и их систем. Метод граничных интегральных уравнений, основанный на методе потенциалов, является одним из наиболее конструктивных при решении таких задач, т.к. позволяет получить интегральное представление для решения. Этот метод находит широкое применение для доказательства однозначной разрешимости краевых задач, а также служит теоретической основой разработки алгоритмов их численного решения. Особенно эффективным этот метод оказывается в случае внешних краевых задач для неограниченных областей, позволяя перейти от исходной двумерной задачи к одномерному интегральному уравнению на разрезах.
Перейдем к краткому обзору работ, посвященных исследованию дифракции электромагнитных волн на одном криволинейном экране.
В обзоре работ мы будем употреблять термины Е— и Я— поляризация, первой соответствует задача Дирихле, а второй — задача Неймана (это справедливо для двумерного случая).
Решение задачи дифракции Я-поляризованной электромагнитной волны на параболическом цилиндре получено в [1] Г.А. Гринбергом с коллегами. В.Н.Тарасов [2] получил асимптотические формулы для поля, отраженного от параболического цилиндра, кроме того, им был проведен численный анализ диаграмм направленности по этим формулам.
Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне одного разреза произвольной формы была сведена Е.В. Захаровым к интегродифференциальному уравнению в [3, 4] при помощи потенциала двойного слоя. Выло доказано, что если однородное интегродифференциальное уравнение имеет только тривиальное решение, то неоднородное уравнение однозначно разрешимо.
М. Durand [5] искал решение задачи Неймана вне одного разреза произвольной формы для уравнения Гельмгольца в виде потенциала двойного слоя. М. Durand свел задачу к гиперсингулярному интегральному уравнению I рода и

доказал разрешимость этого уравнения.
Численное решение ряда задач дифракции в канонических областях было получено В.П. Шестопаловым и его коллегами методом задачи Римана-Гильберта [6]. Метод задачи Римана-Гильберта позволяет сводить краевые задачи дифракции в канонических областях, содержащих прямолинейные разрезы либо разрезы вдоль дуг окружности, к таким бесконечномерным алгебраическим системам, которые легко решаются численно. При этом решение краевой задачи разыскивается в виде ряда, содержащего неизвестные коэффициенты Фурье и учитывающего геометрию области. После подстановки ряда в граничное условие, получается система уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В этой системе выделяется старший оператор, который допускает обращение в явном виде с помощью явного решения задачи Римана-Гильберта для аналитических функций в соответствующей канонической области. После обращения старшего оператора, исходная система уравнений относительно коэффициентов Фурье сводится к бесконечномерной алгебраической системе, которая легко решается численно, так как имеет старшие коэффициенты на главной диагонали. Решение задачи дифракции Е-волны на круговом цилиндре с щелью методом задачи Римана-Гильберта было получено
В.Н. Кошпаренком и В.П. Шестопаловым [7]. В частности, было получено длинноволновое приближение и проведен анализ численных результатов для разной ширины щели. Эта же задача в случае Е-поляризованных волн решена в [8], проведены эксперименты, показано, что численные результаты хорошо совпадают с экспериментом. Возбуждение кругового цилиндра с продольной щелью осевым электрическим диполем аналогичным подходом исследовалось Е.В. Шепилко [9], были получены аналитические формулы для случая узкой щели, проведены численные расчеты для диаграммы направленности. Дальнейшее развитие метод задачи Римана-Гильберта применительно к круговому экрану получил в исследованиях [10, 11, 12, 13, 14], где обнаружен и изучен численно и аналитически ряд интересных резонансных эффектов при рассеянии плоской //-волны на цилиндре с узкой щелью. При возбуждении цилиндра с щелью сосредоточенным источником электромагнитного поля, кроме резонансных явлений, появляются и антирезонансные, для которых характерны не только захват поля открытым резонатором, но и резкое падение излучательной способности структуры. Э.И. Велиев с коллегами исследовал это явление в [15] с помощью метода задачи Римана-Гильберта. Он рассматривал возбуждение цилиндра токовой нитью, расположенной вблизи щели, получил аналитическое выражение для диаграммы направленности и условие антирезонанса.
В работе Ю. А. Тучкина [16] задача Неймана вне одного разреза произвольной формы сводится к бесконечномерной алгебраической системе. Доказана разрешимость этой системы.

ГЛАВА
ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА О СКАЧКЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА ВНЕ РАЗРЕЗОВ НА ПЛОСКОСТИ
В этой главе изучается обобщенная задача о скачке для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задается скачок предельного значения искомой функции и скачок ее нормальной производной. Скачки содержат определенную весовую функцию, которая отражает вклад в граничные условия предельных значений на левом и правом берегах разрезов. Граничные условия в этой задаче обобщают смешанное граничное условие Дирихле-Неймана, рассмотренное в главе 2. Тем самым, задача из главы 3 обобщает задачу из главы 2.
Краевые задачи вне разомкнутых кривых на плоскости имеют много приложений в физике и механике, т.к. разрезы моделируют трещины в твердых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках и т.д. В работах [58], [59] были изучены задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. В [60], [61] изучались смешанные задачи для уравнения Гельмгольца, когда на одной совокупности разрезов задаётся условие Дирихле, а на другой — условие Неймана. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца изучалась в [68]. В этой задаче задавался скачок предельного значения искомой функции и скачок ее нормальной производной на разрезах. В настоящей главе задача о скачке обобщается, в отличие от [68] скачки искомой функции и ее нормальной производной содержат весовую функцию, которая отражает вклад в граничные условия предельных значений на левом и правом берегах разрезов. С помощью потенциала простого слоя и неклассического углового потенциала [58] задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями. Посредством регуляризации и дальнейших преобразований эта система сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая оказывается однозначно разрешимой. Получено интегральное представление для решения краевой задачи в виде потенциалов.
Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений, возникающих в рассматриваемой задаче, развиты в [56].
1. Постановка задачи
На плоскости х = (ад, тг) € В2 рассмотрим совокупность простых разомкнутых кривых Гх Г// класса С2,А, Л 6 (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов. Эту совокупность кривых будем называть контуром Г. Пусть контур Г параметризован и в качестве параметра выступает дуговая абсцисса (длина дуги) 5 : Гп = {х : х = х(я) = (^(я), £2(5)), й € [а„,Ьп]}, п = 1 N. Параметризацию выберем так, чтобы для различных п отрезки