р-Адические стохастические процессы и их применения

• Автор: Бикулов, Альберт Хакимович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление.
Введение.
Необходимые сведения из р-адического анализа.
Глава 1. р-Адические случайные процессы.
1.1 Введение.
1.2 р-Адическое броуновское движение на 1>р.
1.3 Аналог теоремы Шенберга-Шварца.
1.4 Стохастические уравнения с псевдодифференциальным оператором Владимирова. р-Адическое броуновское движение на 0>р.
1.5 Дробное р-адическое броуновское движение на Ър.
Глава 2. р-Адические случайные поля.
2.1 Введение.
2.2 р-Адический броуновский лист.
2.3 р-Адическое броуновское движение Леви.
2.4 Исследование двумерного ковариационного оператора свободного скалярного поля.
Глава 3. Применение р-адических случайных процессов к описанию динамики сильно неупорядоченных сред с фрустрациями.
3.1 Введение.
3.2 Логарифмическая релаксация, закон Кольрауша. Заключение.
Библиография.
Введение
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению случайных процессов, параметризуемых полем р-адических чисел

Начало неархимедовой физики было положено в 1984 году в статье B.C. Владимирова и В.И. Воловича [1] В последнее время, получила развитие р-адическая математическая физика [2]—[6] -Основные результаты этого направления изложены в монографиях [5], [7].
В рамках этой деятельности была поставлена задача построения аналога одного из фундаментальных объектов теории случайных процессов - броуновского движения. Случайные процессы принимающие р-адические значения исследовались А.Ю. Хренниковым [8]. Широкий класс случайных процессов с вещественным временем и р-адической координатой рассматривались А.Н. Кочубеем [9]
р-Адическое броуновское движение в данной работе получается как решение стохастического уравнения с оператором Владимирова [6]. Такой подход к решению задачи естественным образом ставит вопрос о введение р-адического аналога ” белого шума”
Теория броуновского движения всегда была тесно связана с приложениями. В настоящей диссертации предложена теория релаксации в спин-стекольных средах, в основе которой лежит р-адическая теория случайных процессов.
Результаты полученные в диссертации, можно разбить на две основных части:
Математическая, в которой получен новый случайный процесс ”р-адическое броуновское движение”. Исследованы его свойства, и также получены его обобщения на двумерный случай ”р-адический броуновский лист” и ”р-адическое броуновское движение Леви”. Использованные методы являются распространением на р-адический случай подходов разработанных в работах О.Г. Смолянова [10] и Т. Хиды [11].
Физическая, в которой развитый стохастический анализ над полем р-адических чисел используется для построения процесса

’’старения”, то есть релаксации, в таких системах как спиновые стекла.
Актуальность темы. Начало неархимедовой математической физики было положено в статье В. С. Владимирова и И. В. Воловича [1]. Наиболее полное изложение физических мотивировок неархимедовости пространства-времени в микромире (на малых планковских растояниях порядка 10_33сж) содержится в работе И. В. Воловича [2]. В этой же работе выдвинут прицип инвариантности фундаментальных физических теорий относительно замены числового поля. Гипотеза о р-адической структуре пространства-времени и теория р-адических струн предложены Воловичем в [12].
Применение ультрометричности в физике твердого тела обсуждалось Мезардом, Паризи, Раммалем, Сурласом, Тулузом и Вирасоро [13], [14].
р-Адическому анализу посвящены работы [15]—[21]. Обсуждение возможной роли теории чисел в физике можно найти в работах Ю.М. Манина [22],[23].
Теория обобщенных функций над произвольной локально компактной группой была развита в работе Брюа [35] и над локально компактным несвязным полем И.М. Гельфандом, М.И. Граевым и И.И. Пятецким-Шапиро [18]. Теория свертки и произведения обобщенных функций, использующая преобразование Фурье, была впервые развита B.C. Владимировым [6], многомерный случай расмотрен B.C. Владимировым и И.В. Воловичем [25]
Понятие псевдодифференциального оператора на пространстве Q” было введено в работе B.C. Владимирова [37].
Нелокальный оператор дробного дифференцирования и интегрирования Da был определен и изучен B.C. Владимировым [6]. Этот оператор играет важную роль в данной работе.
Спектральная теория оператора Da, а > 0, действующего на Qр, была построена B.C. Владимировым [38], при этом был найден явный вид собственных функций [39].
Формализм р-адической квантовой механики, был предложен B.C. Владимировым и И.В. Воловичем [40],[3]. Этот формализм возник как квантование р-адической классической ме-

(а) Ряд (4) сходится равномерно по Ь 6 Ър в (П, Е, Р). Действительно, рассмотрим частичную сумму
8тп,ш)= у; Х'И) ,
где /Ц = /(п)/(т)з а это множество первых
гг (т) элементов множества / {0}. Тогда
J Smn (:t, w)|2 Р (dcj) ЕЕ £ [sm„ (i) 5m„ (t)] = y |&|~2
О fcG/(m)
Сделаем оценку для этой суммы. Пусть для к = р-7 (ко + 7 = 1, 2
ртИ _ 1 < „ < р7(")+1 _ 1 Тогда найдутся Тс(+) и Тс(_) такие, что
рУ(п)
p7(n)+l — 1 = П + ТС(+).
Нетрудно показать (подробнее см. ниже), что
А:€/{0} Р
Тогда имеем
е щ;2= е N;2- е щ;2
kei(»)
= I Л I
- 1 х “ ' 1 1 ~ 1 х m+m(+)+l J
. < i f _£
p m+m,(.(.)+l n—n(_)+l / — p m+l n-t-1 / ’
что обеспечивает равномерную сходимость по t Е Ър ряда (4) в среднем квадратическом по и.
+ &7-1 V1 *)>