ρ-Адический и ультраметрический анализ в моделях математической физики

• Автор: Козырев, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 169 с.

1 Введение

1.1 Библиографический обзор

2 р-Адические ПДО и всплески

2.1 Введение

2.2 р-Адические всплески

2.3 Связь со всплесками на вещественной прямой

2.4 р-Адические ПДО: снятие вырождения

2.5 р-Адические ПДО: дальнейшее снятие вырождения

3 Ультраметрические ПДО и всплески

3.1 Введение

3.2 Направленное дерево Т(X) шаров

3.3 Направленные деревья и ультраметрика
3.4 Пополнение направленных деревьев
3.5 Связь со стандартным определением абсолюта
3.6 Ультраметрические всплески
3.7 Связь со всплесками на вещественной прямой
3.8 Ультраметрические ПДО
3.9 Аналог оператора Владимирова
3.10 Обобщенные функции на ультраметрическом пространстве
3.11 Ультраметрическое случайное поле
3.11.1 Приложение
4 Репличные матрицы и ультраметрические ПДО
4.1 Введение
4.2 Параметризация матриц Паризи
4.3 Новое семейство репличных матриц
4.4 Ультраметрические ПДО и репличные матрицы

4.5 Анализ на деревьях
4.6 Связь с ^-анализом
4.7 Вычисления с репличными матрицами
4.8 Сравнение с анзацем Паризи
5 Решения с нарушенной репличной симметрией и предел п -> 0106
5.1 Введение
5.2 Предел п -» 0: определение
5.3 Предел п -» 0: расчёты
5.4 Уравнение нарушения репличной симметрии
5.5 Постоянное репличное решение
5.6 Следствия из уравнения нарушения репличной симметрии
5.7 Решение с нарушенной репличной симметрией
6 Связь некоммутативного и р-адического анализа
6.1 Введение
6.2 Свободные когерентные состояния
6.3 Связь с р-адическими числами
6.4 Оснащенное гильбертово пространство СКС
6.5 р-Адическое представление алгебры Купца
6.6 р-Адическое представление как ГНС-представление
6.7 Представление алгебры Купца в пространстве СКС
7 Межбассейновая кинетика и ультраметрическая диффузия
7.1 Введение
7.2 Межбассейновая кинетика как ультраметрическая диффузия
7.3 Ландшафт и дерево бассейнов
7.4 Случайное блуждание на ландшафте
и межбассейновая кинетика
7.5 р-Адические модели межбассейновой кинетики

Глава
Настоящая диссертационная работа посвящена развитию теории р-адических и ультраметрических псевдодифференциальных операторов и всплесков. Показана связь всплесков и спектральной теории псевдодифференциальных операторов. Построено применение этих математических результатов к методу реплик в статистической физике неупорядоченных систем. Также обсуждается связь между некоммутативным и р-адическим анализом.
р-Адические числа широко применялись в алгебраической геометрии, теории чисел и теории представлений. Начиная с 80-х годов прошлого века и работ В.С.Владимирова и И.В.Воловича, р-адические числа получили широкое применение в математической физике. Были получены применения р-адических чисел в теории струн и теории неупорядоченных систем.
Важным разделом математической физики является анализ псевдодифре-циальиых операторов, или ПДО. Псевдодифференциальными операторами называются операторы, диагонализуемые преобразованием Фурье, а также получаемые из таких путём естественных преобразований. Все основные уравнения классической математической физики записываются при помощи таких операторов (уравнение Лапласа, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, и другие).
Теория р-адических псевдодифференциальных операторов была развита В.С. Владимировым, см. [18], большой вклад внесли также А.Н.Кочубей [183] и другие авторы. В частности, был определен оператор Владимирова р-адического дробного дифференцирования Оп. Было отмечено, что этот оператор диагона-лизуется не только преобразованием Фурье, но также имеет базисы из собственных функций с компактным носителем. Пример такого базиса можно найти в [18]. Функции из данного базиса являются р-адическими аналогами сферических функций. Другие примеры базисов из собственных функций оператора

гулярного типа как решение псевдодифференциалыюго стохастического уравнения на ультрамтерическом пространстве. Вводится понятие ультраметриче-ской марковости, описывающее набор условий независимости для случайных полей ультраметрического аргумента, и показывается, что построенное гауссовское случайное поле является ультраметрически Марковым. Построенное гауссовское случайное поле обобщает р-адическое броуновское движение, изучавшееся А.Х.Бикуловым и И.В.Воловичем [7].
Основные результаты настоящей главы по анализу ультраметрических всплесков и псевдодифференциальных операторов были изложены в [52], [175], [192]. Гауссовское случайное поле ультраметрического аргумента построено в [179]. Двойственность между ультраметрическими пространствами и направленными деревьями обсуждалась в [192] и изучалась также Леминым [196]. В р-адическом случае такая двойственность связана с конструкцией Брюа-Титса [125], [126]. Построение ультраметрических пространств при помощи деревьев обсуждалась разными авторами, см. например [230], [131], [130]. Обсуждаемый в настоящей главе вариант такой конструкции, когда ультраметрика вводится уже на вершинах дерева, и проводится пополнение множества вершин, возможно, является новым.
Настоящая Глава Vстроена следующим образом.
В разделах 2, 3, 4, 5 мы строим семейство ультраметрических пространств регулярного типа и обсуждаем двойственность между такими пространствами и направленными деревьями.
В разделе 6 мы вводим ортонормированные базисы ультраметрических всплесков в пространствах квадратично интегрируемых функций на ультраметрических пространствах регулярного типа.
В разделе 7 мы вводим ультраметрическую замену переменной, отображающую рассматриваемые ультраметрические пространства на положительную полупрямую, и используем это отбражение для построения неоднородного обобщения базисов всплесков на вещественной полупрямой.
В разделе 8 мы вводим псевдодифференциальные операторы, действующие на комплекснозначных функциях на ультраметрических пространствах регулярного типа, доказываем, что эти операторы диагональны в базисах ультраметрических всплесков, и вычисляем соответствующие собственные значения.
В разделе 9 мы строим и исследуем аналог оператора Владимирова на рассматриваемых ультраметрических пространствах.
В разделе 10 мы обсуждаем пространства основных и обобщенных функций