Точное решение методом гипергеометрических функций ряда задач математической и теоретической физики

• Автор: Тарасов, Вячеслав Федорович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Б. м.
• Количество страниц: 125 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Представления для ряда Аппеля Г2(х,у) в окрестности особой точки (1,1) и вблизи границы его области сходимости
Введение
§ 1. Вспомогательные сведения
§ 2. Некоторые известные представления для аналитического продолжения ряда Аппеля Г2(х, у) в окрестности особой точки (1,1)
§ 3. Зеркальная симметрия функций Аппеля Б2 и Клаузена зР2 с единичным значением аргументов
§ 4. Представления для функций Аппеля Р2(1,1) и Р3(1,1) и их взаимосвязь
§ 5. Точное аналитическое цредставление ряда Аппеля Г2(х,у) вблизи
границы его области сходимости
Глава 2. Многомерное уравнение Шрёдингера, мультипольные матричные элементы для ЮН-систем и свойства функции Аппеля Г2(х,у) в окрестности особой точки (1,1)
Введение
§ 1. Один класс гипергеометрических дифференциальных уравнений с
тремя параметрами и симметрия функции Аппеля Гг(1,1)
§ 2. Многомерное уравнение Шрёдингера для БН-систем
§ 3. Мультипольные матричные элементы для БН-систем и свойства
функции Аппеля Г2(х, у) в окрестности особой точки (1,1)
§ 4. Асимптотики мультипольных матричных элементов для ВН-систем
с учетом правил отбора через функции Горна ФДх,у)
Глава 3. Представление некоторых физических интегралов с радиальными функциями Шрёдингера и Дирака через функции Аппеля Г2(х,у)
Введение
§ 1. Радиальные слетеровские и марвиновские интегралы с дискретными параметрами и их асимптотики
§ 2. Обобщение слетеровских и марвиновских интегралов и их представление через функции Аппеля Г2(х, у)
§ 3. Радиальные матричные элементы с дираковскими функциями в
теории тонкой и сверхтонкой структур водород оподобных систем

Глава 4. Разрешимость некоторых «модельных» уравнений в теории солитонов через гипергеометрические функции и два множества солитонов KdV и RLW
Введение
§ 1. Разрешимость «модельных» уравнений типа NLS, (р4, Brg и Нх1
через 1 Fo-функции
§ 2. Разрешимость SG-уравнения через гВх-функцию
§ 3. Множества KdV и MLW и связанные с ними нелинейные преобразования и законы сохранения
Литература
Введение

0.1. В данной диссертации рассматривается ряд вопросов, относящихся к теории гипергеометрических (г.-г.) функций от одной и двух переменных, к теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) и к некоторым т.н. «точно решаемым задачам» в математической и теоретической физике, а также к теории нелинейных волновых эволюционных уравнений (размерности 1 + 1). Такое объединение вопросов позволило по-новому взглянуть

на некоторые известные факты из этих разделов математики и ее приложений и получить новые результаты.
Поэтому основная цель работы:
1) разработка метода г.-г. функций от одной и двух переменных и их новых свойств;
2) применение этого метода к некоторым разделам математики и ее приложений (а именно: к теории дифференциальных уравнений, к некоторым точно решаемым физическим задачам, где используются функции Шрёдингера и Дирака);
3) применение этого метода к ряду «модельных» задач в теории солитонов.
В связи с этим в главах 1-3 используются как известные, так и новые свойства функции Аппеля Е2(х,у), а в главе 4 — простые функциональные соотношения (в виде диаграмм) для смежных рЕч-функций от одной переменной. Отметим, кстати, что основным источником свойств функций Аппеля Е, начиная с 1926 г. и до сих пор, является глубокая монография [31], а свойств г.-г. функций от одной переменной (к настоящему времени) — известные книги [1,32-36].
0.2. Результаты и доказательства в работе техничны, т.е. все они могут быть повторены, но некоторые из них «технически» трудоемки. В настоящем введении подобраны лишь основные результаты каждой из четырех глав.
В главе 1 даны представления для ряда Аппеля Е2(х,у) в окрестности О(С0) особой точки С0(1,1) и вблизи границы Г = «Ю2 его области сходимости Б2: |х| + |у| < 1 (см. рис. 1).
В § 1 содержатся вспомогательные сведения, необходимые для последующего изложения: определения функций Аппеля Е2 и Из в виде двойных г.-г. рядов, интегральные представления типа Лапласа-Эрдейи и Меллина-Бернса для Бг, преобразования П. Аппеля для Е2 и Е3, формулы приведения и рекуррентные соотношения для Е2, а также (кратко) определения функций П. Олссона Ер и Ерц и функций В. Еаргаро и Д. Онли и С2 в виде г.-г. рядов от двух переменных.

Ф" + !(1_3)Ф/ + 2Е + у(г)-Л Ф = 0 , (1.1)
которому удовлетворяет функция
ф = А< = Ае-“/3гс/3+'-11Б’1(-а; с; г)
с условиями 0< Ф(0) < оо и Ф(+оо) = 0. Здесь обозначено:
г = 2Аг, я(г) = Z/r > 0, Z > 0, а 0 целое, с ф 0,-1, —2
Лв = (с/2-в)(с/2+8-1), Е = —А2/2 < 0, А = г/(а + с/2) > 0,
А — нормировочная постоянная, которая находится из условия
А-2 = |М1ь2(к+) = () 3Г(С + 2э + 1)Е2(с + 2й + 1; —а, —а; с, с; 1,1),
где 11е(с + 2в + 1) > 0.
Легко убедиться, что Е не зависит от параметра я. Предположим противное: Е' = —А2/2 + б, где е — б(а, с, я) ф 0 — «поправка», зависящая от всех параметров. Тогда, записывая уравнение (1.1) в операторной форме НФ = Е'Ф и решая его (стандартным образом) [39,59], находим
б = 2а(с + 2з)-1 А2Ез *(с + 2э +1; —а, —а; с, с; 1,1){.} = 0.
Теорема 1.1. Выражение в фигурных скобках есть рекуррентное соотношение для четырех смежных функций Аппеля Е2(х, у) е особой точке (1,1)
-(Е2(с + 2э; —а, —а; с, с; 1,1) — Е2(с. + 2э; -а, 1 - а; с, 1 + с; 1,1)) +
с + 2я

+ Е2(с + 2в + 1; — а, 1 — а; с, 1 + с; 1,1) -| —— Е2(с + 2я +1; — а, 2 — а; с, 2 +с; 1,1) =0.
С “г
Доказательство основано на использовании интеграла Лапласа-Эрдейи (1.1.4) и «диаграммного» соотношения для функции Куммера [1]

. ах /а +
х ~7 ТА11 (
сСс-1) с +
Из (1.1) при 2s G Z получается счётное множество дифференциальных уравнений (кратко, V-класс), его элементы Vj)c Е V есть дифференциальные уравнения с фиксированным набором параметров. Например, Vq° и Vc есть соответственно уравнения типа Шрёдингера SE и Уиттекера WEt- В частности, если

параметры имеют физический смысл:
а = п — 1 — 1 0, с = 21 + 2 2, 1 = 0,n—1, А = Z/n > 0,