Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера при одной энергии и связанные с ним интегрируемые уравнения математической физики

• Автор: Гриневич, Петр Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 271 с.

1 Введение
1 Предварительные сведения
2 Задача Коши для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 в классе убывающих на бесконечности потенциалов
2.1 Прямое преобразование рассеяния
2.2 Обратное преобразование рассеяния
3 Алгебраические римановы поверхности. Циклы, дифференциалы, тета-функция Римана
3.1 Циклы на алгебраических кривых
3.2 Дифференциалы на алгебраических кривых
3.3 Векторные поля на окружности
3.4 Билинейные соотношения Римана
3.5 Отображение Абеля
3.6 Тета-функция Римана
4 Уравнение Кортевега — де Фриза. Конечнозонные решения
5 Конечнозонные решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили. Высшие уравнения КП
6 Двумерные операторы Шредингера, ’’конечнозонные при одной энергии”. Уравнения Веселова-Новикова
II Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера при одной энергии и параболического оператора

7 Преобразование рассеяния при фиксированной положительной энергии для двумерного оператора Шредингера
с убывающим на бесконечности потенциалом
7.1 Прямое преобразование рассеяния
7.2 Обратное преобразование рассеяния
7.3 Условия потенциальности и вещественности
7.4 Связь с физической задачей рассеяния. Прозрачные при одной энергии потенциалы
7.5 Интегрирование уравнений Веселова-Новикова
8 Задача рассеяния при фиксированной отрицательной энергии
9 Рациональные солитоны уравнений Веселова-Новикова -безотражательные при фиксированной энергии двумерные потенциалы
9.1 Алгебраическая схема построения рациональных солитонов
9.2 Редукции на данные рассеяния
9.3 Явные формулы для потенциалов. Сведение к пфаффианам
10 Прозрачные при одной энергии потенциалы, быстро убывающие на бесконечности
10.1 Условия на данные расеяния для быстроубывающих потенциалов. Прямая задача
10.2 Построение потенциалов, прозрачных при одной энергии
11 Преобразование рассеяния для быстороубывабщих потенциалов на фоне конечнозонных
11.1 Прямое преобразование рассеяния на конечнозонном фоне
11.2 Обратное преобразование рассеяния на конечнозонном фоне

12 Несингулярность обратного спектрального преобразования для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 с ’’большими” ’’данными рассеяния” в вещественном случае
13 Несингулярность прямого спектрального преобразования для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 с ’’большим” вещественным начальным потенциалом
13.1 Однородные решения интегрального уравнения прямой задачи рассеяния
13.2 Регулярность прямого спектрального преобразования для параболического оператора
13.3 Задача Коши для уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2 в классе быстроубываюгцих на бесконечности потенциалов
III Неизоспектральные симметрии интегрируемых уравне

14 Действие неизоспектральных симметрий на конечнозонных решениях уравнения Кадомцева-Петвиашвили
14.1 Неизоспектральные симметрии КдФ и КП
14.2 Тензорная функция Бейкера-Ахиезера
14.3 Деформации римановых поверхностей и задача Римана
14.4 Ядро Коши-Бейкера-Ахиезера
14.5 Деформации спектральных кривых и дополнительные симметрии КП
14.6 Грассманнианы и пространства флагов
14.7 Вариации геометрических объектов
15 Неизоспектральные симметрии уравнений Уизема
15.1 Уравнения Уизема для КдФ

Ьф(х,Е) = Еф(х, Е), ф(х + П, Е) = с‘п',|£;)іі(і1 В).
(4.11)
(4.12)
(4.13)
Нормированная таким образом блоховская функция оказывается ме-роморфной функцией по спектральному параметру на гиперэллиптиче-ской римановой поверхности Г, двулистно накрывающей Н-плоскость, точки ветвления которой - концы зон спектра Ні, Еч и точка Е = оо. Над каждой лакуной расположен ровно один простой полюс блоховской функции 7„, причем проекция 7„, на П-плоскость совпадает с соответствующей точкой спектра задачи Дирихле с1п.
Функция р(Е±) также определена на Г и называется квазиимпульсом.
Для потенциалов общего положения число лакун [Ечк, Ечк+] ненулевой длины бесконечно. Однако наиболее важным при интегрировании КдФ (как и большинства других солитонных уравнений) является класс конечнозонных потенциалов - таких, что число лакун для них конечно: Ечп = Ечп+1 при всех п > д. (Бесконечнозонное интегрирование также обсуждалось в литературе [130], однако эффективность получаемых таким образом формул значительно ниже).
Обратная задача ставится следующим образом. Пусть заданы следующие “спектральные данные”:
1. 2д + 1 вещественное число Е, Пф ..., Е2д+1, Е < Е2 < ... < Е2д+і, которые будут концами зон в спектре.
2. д точек 7і, ..., 75 на гиперэллиптической римановой поверхности Г, двулистно накрывающей Е- плоскость с точками ветвления оо, Пі, Еч, ..., Ечд+1, выбранных так чтобы проекция 7К на П- плоскость Н(уД лежала в к-ой лакуне: Е(%) Є [Е2к, Ечк+і].