Исследование асимптотических свойств некоторых квантовомеханических моделей в ограниченных областях

• Автор: Трушечкин, Антон Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 156 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Асимптотические свойства сжатых состояний в ограниченных

областях

1.1 Квантовая частица на отрезке

1.1.1 Гильбертово пространство и операторы основных физических

величин
1Л.2 Соотношения неопределенностей и квантовые сжатые состояния на прямой. О соотношении неопределенностей на отрезке

1.2 Семейства сжатых состояний на отрезке

1.2.1 Определение квантовых сжатых состояния на отрезке. Постановка задачи

1.2.2 Сжатые состояния в виде обрезанной функции Гаусса
1.2.3 Сжатые состояния в виде тета-функции
1.2.4 Случай произвольной плотности распределения
1.2.5 Разброс по энергии для частицы в ящике
1.2.6 Предельный случай большой длины отрезка и квазиклассиче-
ский предельный случай
ГЛАВА 2. Квазиклассический предел динамики когерентных состояний на
окружности и в ящике
2.1 Семейство когерентных состояний на окружности
2.1.1 Когерентные состояния на окружности
2.1.2 Спектральные свойства когерентных состояний на окружности
2.1.3 Динамика когерентных состояний на окружности
2.1.4 Квазиклассический предел скалярных произведений когерентных состояний на окружности

2.2 Семейство когерентных состояний в ящике
2.2.1 Отображение динамики на окружности в динамику в ящике в классической механике
2.2.2 Отображение динамики на окружности в динамику в ящике в квантовой механике
2.2.3 Когерентные состояния в ящике
2.2.4 Квазиклассический предел для скалярных произведений когерентных состояний в ящике
2.3 Некоторые вопросы функциональной формулировки классической
механики
2.3.1 Функциональная формулировка классической механики и теория измерений
2.3.2 Динамика функции плотности при повторяющихся измерениях
2.4 Квазиклассический предел динамики функции Хусими
2.4.1 Случай свободной квантовой динамики на окружности
2.4.2 Случай квантовой динамики в ящике
ГЛАВА 3. Модели распределения ключей в квантовой криптографии
3.1 Обозначения
3.2 Общая модель квантового распределения ключей
3.3 Частная модель квантового распределения ключей
3.3.1 Описание модели
3.3.2 Теорема о стойкости
3.3.3 О преимуществах квантового распределения ключей над классическим
3.4 Спецификация систем квантового распределения ключей
3.4.1 Среднее время генерации ключей
3.4.2 Скорость обновления ключей и скорость генерации ключей
3.4.3 Верхняя граница степеней надёжности
3.4.4 Численные характеристики систем квантового распределения
ключей для инженеров и конечных пользователей
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Доказательство оценок среднего и дисперсии импульса
для частицы на отрезке
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Доказательство оценки суммы тригонометрического ряда
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Асимптотики некоторых интегралов
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Некоторые асимптотики, связанные с тета-функцией
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Доказательство модулярного свойства тета-функции,
основанное на разложении в ряд Фурье
БИБЛИОГРАФИЯ

Доказательство.
І 1-Х*
хр = J х'фр(х)2 (ІХ = X* + j хфр(хх*)2 (ІХ
—I —1-х*
„ 1-х"—Зє „ / —1—х"+Зе 1-х"
е?2 /. о п>2 '
Вя / . -Од

/ 2тг/32 У у/2тґР2
—1-х"+3є —1-х* 1-х"—Зє ,
ж 4- О [ (Зе зё2
где мы воспользовались асимптотикой гауссового интеграла (В.1), только что полученной формулой (1.17) и оценкой |А£(ж)| 1. Формула (1.18) доказана.

Р/3 = / х)і~і)'Ф,із(х)<1х

= J ЫХ)?(Р* + гП2(3Х йх ~ /е_(> Лс(-г-)А'-(.г-)7ж.

Мнимые слагаемые должны уничтожиться, поскольку среднее от самосопряжённого оператора должно быть вещественным. Поэтому р/3 = р*, т.е. получили формулу (1.19).
I 1-Х*
А*ж| = J(х — х*)2’фр(х)2 dx = J х2фр(х + х*)2 сіх

= /г + О {/?е '