Л2-представления уравнений математической физики и их некоторые приложения

• Автор: Зададаев, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I Л2- представление уравнений математической физики.
§1.1 Понятие Л2 - представления, Л!-класса.
1.1.1 Определения
1.1.2 Примеры Л2-представлений
§1.2 Методы построения Л2 - представлений.
1.2.1 Метод выделения независимых переменных
1.2.2 Решение системы структурных уравнений поверхности в Е3
как способ построения Л2 - представлений
1.2.3 Локальные преобразования координат. Получение общего
вида метрики гауссовой кривизны К
Глава П Некоторые приложения Л2 - представлений связанные с внутренней геометрией поверхности.
§2.1 Локальные преобразования Бэклунда для решений уравнения Лапласа и эллиптического уравнени Лиувилля
2.1.1 Преобразования Бэклунда для решений эллиптического уравнения Лиувилля
2.1.2 Общее локальное решение обобщенного эллиптического уравнения Лиувилля
§2.2 Представление нулевой кривизны
§2.3 Построение представления нулевой кривизны по Л2-
представлению для произвольного уравнения из Л2-класса
§2.4 Кинематическая интегрируемость уравнений, принадлежащих
Л2 - классу. Проблема введения спектрального параметра
2.4.1 Наследование спектрального параметра Л из Л2-
представления

2.4.2 Введение спектрального параметра, использующее локальные симметрии уравнения
2.4.3 Общая схема постановки спектрально-эволюционной
задачи
2.4.4 Реализация общей схемы постановки спектральноэволюционной задачи для уравнения х/и-Гордона
§2.5 Постановка спектрально-эволюционной задачи по Л!-представлению, использующая обращение формул Сасаки.
2.5.1 Формулы Сасаки, связывающие 1-формы с операторами модифицированного вида задачи Захарова-Шабата
2.5.2 Общее обращение формул Сасаки. Возможные
классы уравнений
2.5.3 Реализация общей схемы для уравнений Бюргерса,
ШдЛ'-типа и ряда других
2.5.4 Примеры эволюционных уравнений, допускающих
обращение формул Сасаки
§2.6 Дифференциально-геометрическая классификация
кинематически интегрируемых уравнений
Глава Ш Л!- представление уравнения яш-Гордона в задаче о погружении чебышевских метрик в Е
§3.1 Геометрическая интерпретация решений типа бегущих волн уравнения ят-Гордона.
3.1.1 Решения типа бегущих волн уравнения ят-Гордона
3.1.2 Геометрическая интерпретация решений уравнения ят-Гордона. Постановка задачи об изометрическом погружении определенных областей на Л* в Е*
3.1.3 Интегрирование деривационных формул. Радиус-вектор поверхностей

§3.2 Псевдосферические поверхности, отвечающие решениям
типа бегущих волн уравнения эт-Гордона
§3.3 Преобразования Бэклунда для псевдосферических поверхностей. Радиус-вектор двусолитонной поверхности.
3.3.1. Преобразования Бэклунда для псевдосферических поверхностей
3.3.2. Построение поверхности, отвечающей двусолитонному решению уравнения вт-Гордона
§3.4 Общие замечания и перспективы развития
Заключение
Список используемой литературы
Приложение
Последующие параграфы данной главы относятся к другому не менее значимому приложению введенного выше формализма Л2 - представлений, связанному с представлением нулевой кривизны и сответствующими методами исследования нелинейных дифференциальных уравнений математической физики.
§2.2 Представление нулевой кривизны.
Современный метод обратной задачи рассеяния [1], а также, ряд других процедур, позволяющих не только определять законы сохранения уравнений, но и строить частные решения по «затравочным», а также общие локальные решения, базируются на представлении нулевой кривизны.
Основное отличие известного оригинального представления Лакса [31]

с соответствующей вспомогательной линейной задачей 1Я> = Х¥
от современного подхода состоит во введении новой пары матричных (недифференциальных) операторов и и V по следующей схеме [1],[32]:
— = и(х,Г,Х)ф (2.2.1)

= У{х,г,Я)ф (2.2.2)

- спектрально-эволюционная задача, где ф- -вектор-функция от {х,1}; а
Фг)
и,У -2x2 матрицы, зависящие, вообще говоря, не только от {х,1}, но и от некоторого комплексного параметра Я (формально в данной системе Я уже не